Актуарная нотация - Википедия - Actuarial notation

Пример актуарного символа.
1. Верхний регистр A - это гарантия выплаты 1 по страховому случаю; Нижний регистр a - это аннуитет, выплачиваемый 1 раз в год в надлежащее время.
2. Бар подразумевает непрерывный - или выплачивается в момент смерти; двойная точка - подразумевает выплату в начале года; без отметки подразумевается оплата в конце года
3. для

{ displaystyle x}

-летний человек, для

{ displaystyle n}

годы
4. оплачивается, если

{ Displaystyle (х)}

умирает внутри

{ displaystyle n}

годы
5. отложенный (

{ displaystyle m}

годы)
6. нет фиксированного значения, подразумевает второй момент для расчета

{ Displaystyle E (Z ^ {2}) = E ((v ^ {k_ {x} +1}) ^ {2})}

, но часто

{ displaystyle v ^ {k_ {x} +1} = e ^ { delta (k_ {x} +1)}}

подразумевая двойную силу интереса

Актуарное обозначение это сокращенный метод, позволяющий актуарии записывать математические формулы, относящиеся к процентные ставки и таблицы дожития.

В традиционных обозначениях используется система ореола где символы расположены как надстрочный индекс или же нижний индекс до или после основной буквы. Пример обозначения с использованием системы гало можно увидеть ниже.

Были внесены различные предложения по принятию линейной системы, в которой все обозначения будут на одной строке без использования надстрочных или подстрочных индексов. Такой метод будет полезен для вычислений, где представление системы гало может быть чрезвычайно затруднено. Однако стандартная линейная система еще не появилась.

Пример обозначений

Процентные ставки

${ Displaystyle , я}$ годовой эффективная процентная ставка, что является "истинной" процентной ставкой сверх год. Таким образом, если годовая процентная ставка составляет 12%, то ${ Displaystyle , я = 0,12}$ .

${ Displaystyle , я ^ {(м)}}$ (произносится как "я верхний м ") является номинальная процентная ставка кабриолет ${ displaystyle m}$ раз в год, и численно равен ${ displaystyle m}$ умножает эффективную процентную ставку на одну ${ displaystyle m}$ ^th года. Например, ${ Displaystyle , я ^ {(2)}}$ - номинальная процентная ставка, конвертируемая раз в полгода. Если эффективная годовая процентная ставка составляет 12%, то ${ Displaystyle , я ^ {(2)} / 2}$ представляет собой эффективную процентную ставку каждые шесть месяцев. С ${ Displaystyle , (1.0583) ^ {2} = 1.12}$ , у нас есть ${ Displaystyle , я ^ {(2)} / 2 = 0,0583}$ и поэтому ${ Displaystyle , я ^ {(2)} = 0,1166}$ . В ^"(м)" появляется в символе ${ Displaystyle , я ^ {(м)}}$ не "показатель степени. "Он просто представляет собой количество пересчетов процентов или периодов начисления сложных процентов в год. Полугодовое начисление сложных процентов (или пересчет процентов каждые шесть месяцев) часто используется при оценке облигации (смотрите также с фиксированным доходом ценных бумаг ) и подобные денежное финансовое обязательство инструменты, тогда как дома ипотека часто конвертируйте проценты ежемесячно. Снова следуя приведенному выше примеру, где ${ Displaystyle , я = 0,12}$ , у нас есть ${ Displaystyle , я ^ {(12)} = 0,1139}$ поскольку ${ displaystyle , left (1 + { frac {0.1139} {12}} right) ^ {12} = 1.12}$ .

Эффективная и номинальная процентные ставки не совпадают, поскольку проценты, уплаченные в более ранние периоды оценки, «приносят» проценты в более поздних периодах оценки; это называется сложные проценты. То есть номинальные процентные ставки по кредиту для инвестора (в качестве альтернативы взимаются или списание средств, проценты к должнику), чаще, чем действующие ставки. Результатом является более частое начисление сложных процентов процентного дохода инвестору (или процентных расходов должника), когда используются номинальные ставки.

Символ ${ displaystyle , v}$ представляет приведенная стоимость из 1 к оплате через год:

{ Displaystyle , v = {(1 + я)} ^ {- 1} приблизительно 1-я + я ^ {2}}

Этот коэффициент приведенной стоимости или коэффициент дисконтирования используется для определения суммы денег, которую необходимо инвестировать сейчас, чтобы иметь данную сумму денег в будущем. Например, если вам нужно 1 раз в год, то сумма денег, которую вы должны инвестировать сейчас, составляет: ${ Displaystyle , 1 раз v}$ . Если вам нужно 25 лет через 5, сумма денег, которую вы должны инвестировать сейчас, составляет: ${ displaystyle , 25 times v ^ {5}}$ .

${ displaystyle , d}$ это годовая эффективная ставка дисконтирования:

{ displaystyle d = { frac {i} {1 + i}} приблизительно i-i ^ {2}}

Значение ${ displaystyle , d}$ также можно рассчитать из следующих соотношений: ${ Displaystyle , (1-d) = v = {(1 + я)} ^ {- 1}}$ Ставка дисконтирования равна сумме процентов, полученных за год, деленной на остаток денег на конец этого периода. Напротив, годовая эффективная процентная ставка рассчитывается путем деления суммы процентов, полученных в течение одного года, на остаток денег на начало года. Приведенная стоимость (сегодня) платежа в размере 1, который должен быть произведен ${ Displaystyle , п}$ лет в будущем ${ Displaystyle , {(1-д)} ^ {п}}$ . Это аналогично формуле ${ Displaystyle , {(1 + я)} ^ {п}}$ на будущую (или накопленную) стоимость ${ Displaystyle , п}$ лет в будущем из суммы 1 вложено сегодня.

${ Displaystyle , d ^ {(м)}}$ , номинальная ставка дисконтирования конвертируемой ${ Displaystyle , м}$ раз в год, аналогично ${ Displaystyle , я ^ {(м)}}$ . Скидка конвертируется на ${ displaystyle m}$ ^th-й основе.

${ displaystyle , delta}$ , то сила интереса, является предельным значением номинальной процентной ставки, когда ${ displaystyle m}$ неограниченно увеличивается:

{ Displaystyle , дельта = lim _ {м к infty} я ^ {(м)}}

В этом случае интерес составляет кабриолет непрерывно.

Общие отношения между ${ Displaystyle , я}$ , ${ displaystyle , delta}$ и ${ displaystyle , d}$ является:

{ displaystyle , (1 + i) = left (1 + { frac {i ^ {(m)}} {m}} right) ^ {m} = e ^ { delta} = left ( 1 - { frac {d ^ {(m)}} {m}} right) ^ {- m} = (1-d) ^ {- 1}}

Их числовое значение можно сравнить следующим образом:

{ Displaystyle , я> я ^ {(2)}> я ^ {(3)}> cdots> delta> cdots> d ^ {(3)}> d ^ {(2)}> d}

Таблицы дожития

А таблица жизни (или таблица смертности) - это математическая конструкция, которая показывает количество живых людей (на основе предположений, использованных для построения таблицы) в данном возрасте. В дополнение к количеству жизней, оставшихся в каждом возрасте, таблица смертности обычно предоставляет различные вероятности, связанные с развитием этих значений.

${ displaystyle , l_ {x}}$ количество живых людей по отношению к исходной когорте в возрасте ${ displaystyle x}$ . С возрастом количество живых людей уменьшается.

${ displaystyle , l_ {0}}$ это отправная точка для ${ displaystyle , l_ {x}}$ : количество людей, живущих в возрасте 0 лет. Это известно как основание стола. Некоторые таблицы смертности начинаются с возраста более 0, и в этом случае основание системы счисления представляет собой количество людей, которые, как предполагается, были живы в самом молодом возрасте в таблице.

${ displaystyle omega}$ - это предельный возраст таблиц смертности. ${ displaystyle , l_ {n}}$ равен нулю для всех ${ Displaystyle , п geq omega}$ .

${ displaystyle , d_ {x}}$ это количество людей, умерших в возрасте ${ displaystyle x}$ и возраст ${ displaystyle x + 1}$ . ${ displaystyle , d_ {x}}$ можно рассчитать по формуле ${ displaystyle , d_ {x} = l_ {x} -l_ {x + 1}}$

${ displaystyle x}$	${ displaystyle l_ {x}}$	${ displaystyle d_ {x}}$
0	${ displaystyle l_ {0}}$
...	...	...
${ displaystyle x}$	${ displaystyle l_ {x}}$	${ displaystyle d_ {x} = l_ {x} -l_ {x + 1}}$
${ displaystyle x + 1}$	${ displaystyle l_ {x + 1}}$	${ displaystyle d_ {x + 1}}$
...	...	...
${ displaystyle omega -1}$	${ displaystyle l _ { omega -1}}$	${ displaystyle d _ { omega -1} = l _ { omega -1}}$
${ displaystyle omega}$	0	0

${ displaystyle , q_ {x}}$ вероятность смерти в возрасте ${ displaystyle x}$ и возраст ${ displaystyle x + 1}$ .

{ displaystyle , q_ {x} = d_ {x} / l_ {x}}

${ displaystyle , p_ {x}}$ вероятность того, что жизненный возраст ${ displaystyle x}$ доживет до возраста ${ displaystyle x + 1}$ .

{ Displaystyle , p_ {x} = l_ {x + 1} / l_ {x}}

Поскольку единственно возможные альтернативы с одного возраста ( ${ displaystyle x}$ ) к следующему ( ${ displaystyle x + 1}$ ) живут и умирают, соотношение между этими двумя вероятностями таково:

{ displaystyle , p_ {x} + q_ {x} = 1}

Эти символы можно также увеличить до нескольких лет, вставив количество лет в нижнем левом углу основного символа.

${ displaystyle , _ {n} d_ {x} = d_ {x} + d_ {x + 1} + cdots + d_ {x + n-1} = l_ {x} -l_ {x + n}}$ показывает количество людей, умерших в возрасте ${ displaystyle x}$ и возраст ${ Displaystyle х + п}$ .

${ displaystyle , _ {n} q_ {x}}$ вероятность смерти в возрасте ${ displaystyle x}$ и возраст ${ Displaystyle х + п}$ .

{ displaystyle , _ {n} q_ {x} = {} _ {n} d_ {x} / l_ {x}}

${ displaystyle , _ {n} p_ {x}}$ вероятность того, что жизненный возраст ${ displaystyle x}$ доживет до возраста ${ Displaystyle х + п}$ .

{ displaystyle , _ {n} p_ {x} = l_ {x + n} / l_ {x}}

Еще одна статистика, которую можно получить из таблицы смертности: продолжительность жизни.

${ displaystyle , e_ {x}}$ это краткое ожидание жизни для человека, живущего в возрасте ${ displaystyle x}$ . Это ожидаемое количество полных лет, оставшихся жить (вы можете думать об этом как об ожидаемом количестве дней рождения, которые человек будет отмечать).

{ displaystyle , e_ {x} = sum _ {t = 1} ^ { infty} _ {t} p_ {x}}

Таблица дожития обычно показывает количество людей, живущих в определенном возрасте. Если нам нужна информация о доле года, мы должны сделать предположения относительно таблицы, если это еще не подразумевается математической формулой, лежащей в основе таблицы. Распространенным предположением является предположение о равномерном распределении смертей (UDD) для каждого года жизни. В этом предположении ${ displaystyle , l_ {x + t}}$ это линейная интерполяция между ${ displaystyle , l_ {x}}$ и ${ displaystyle , l_ {x + 1}}$ . т.е.

{ Displaystyle , l_ {x + t} = (1-t) l_ {x} + tl_ {x + 1}}

Аннуитеты

Иллюстрация потоков платежей, представленных актуарной записью для аннуитетов.

Основной символ текущей стоимости рента является ${ Displaystyle , а}$ . Затем можно добавить следующие обозначения:

Обозначение в правом верхнем углу указывает частоту выплат (т. Е. Количество аннуитетных платежей, которые будут производиться в течение каждого года). Отсутствие такой записи означает, что выплаты производятся ежегодно.
Обозначение в правом нижнем углу указывает возраст человека на момент начала выплаты аннуитета и период, за который выплачивается аннуитет.
Обозначение непосредственно над основным символом указывает, когда производятся выплаты. Две точки обозначают аннуитет, выплаты по которому производятся в начале каждого года («аннуитетный платеж»); горизонтальная линия над символом указывает ренту, выплачиваемую непрерывно («непрерывная рента»); отсутствие отметки над основным символом указывает на аннуитет, выплаты по которому производятся в конце каждого года («немедленный аннуитет»).

Если выплаты по аннуитету не зависят от какого-либо жизненного события, это называется аннуитетом. гарантированная рента. В противном случае, в частности, если выплаты заканчиваются после бенефициар смерть, это называется пожизненная рента.

${ displaystyle a _ {{ overline {n |}} i}}$ (читать угол-н в я) представляет собой приведенную стоимость немедленной аннуитета, которая представляет собой серию паевых платежей в конце каждого года за ${ displaystyle n}$ лет (другими словами: значение за один период до первого из п платежи). Это значение получается из:

{ displaystyle , a _ {{ overline {n |}} i} = v + v ^ {2} + cdots + v ^ {n} = { frac {1-v ^ {n}} {i} }}

${ displaystyle { ddot {a}} _ {{ overline {n |}} i}}$ представляет собой приведенную стоимость аннуитета, который представляет собой серию единичных платежей в начале каждого года за ${ displaystyle n}$ лет (другими словами: стоимость на момент первого из п платежи). Это значение получается из:

{ displaystyle { ddot {a}} _ {{ overline {n |}} i} = 1 + v + cdots + v ^ {n-1} = { frac {1-v ^ {n}} { d}}}

${ Displaystyle , s _ {{ overline {п |}} я}}$ это стоимость на момент последней выплаты, ${ Displaystyle { ddot {s}} _ {{ overline {п |}} я}}$ значение на один период позже.

Если символ ${ Displaystyle , (м)}$ добавляется в верхний правый угол, он представляет собой текущую стоимость аннуитета, выплаты которого производятся каждый раз ${ displaystyle m}$ -го года сроком на ${ displaystyle n}$ лет, и каждый платеж - один ${ displaystyle m}$ th единицы.

{ displaystyle a _ {{ overline {n |}} i} ^ {(m)} = { frac {1-v ^ {n}} {i ^ {(m)}}}}

,

{ displaystyle { ddot {a}} _ {{ overline {n |}} i} ^ {(m)} = { frac {1-v ^ {n}} {d ^ {(m)}} }}

${ displaystyle { overline {a}} _ {{ overline {n |}} i}}$ предельное значение ${ Displaystyle , а _ {{ overline {п |}} я} ^ {(м)}}$ когда ${ displaystyle m}$ неограниченно увеличивается. Базовый аннуитет известен как непрерывная рента.

{ displaystyle { overline {a}} _ {{ overline {n |}} i} = { frac {1-v ^ {n}} { delta}}}

Приведенные значения этих аннуитетов можно сравнить следующим образом:

{ displaystyle a _ {{ overline {n |}} i}

Чтобы понять отношения, показанные выше, примите во внимание, что денежные потоки, выплаченные в более позднее время, имеют меньшую приведенную стоимость, чем денежные потоки той же общей суммы, которые выплачиваются в более раннее время.

Нижний индекс ${ displaystyle i}$ который представляет собой процентную ставку, может быть заменен на ${ displaystyle d}$ или же ${ displaystyle delta}$ , и часто опускается, если скорость четко известна из контекста.
При использовании этих символов процентная ставка не обязательно остается постоянной на протяжении всего срока действия аннуитетов. Однако при изменении ставки приведенные выше формулы больше не действуют; конкретные формулы могут быть разработаны для конкретных движений ставки.

Пожизненная рента

Пожизненная рента - это аннуитет, выплаты которого зависят от продолжительности жизни аннуитета. Возраст получателя ренты является важным фактором при расчете актуарная приведенная стоимость аннуитета.

Возраст аннуитета указывается в правом нижнем углу символа без отметки «угол».

Например:

${ displaystyle , a_ {65}}$ указывает ежегодную ренту в размере 1 единицы, выплачиваемую в конце каждого года до смерти человеку, которому сейчас 65 лет

${ displaystyle a _ { overline {10 |}}}$ указывает аннуитет в размере 1 единицы в год с выплатой в течение 10 лет с выплатами в конце каждого года

${ displaystyle a_ {65: { overline {10 |}}}}$ указывает ежегодную ренту в размере 1 единицы в течение 10 лет или до смерти, если раньше, кому-то в возрасте 65 лет

${ displaystyle a_ {65:64}}$ указывает ежегодную ренту в размере 1 единицы до более ранней смерти члена семьи или смерти супруга, кому-то в возрасте 65 лет, а супругу 64 года

${ displaystyle a _ { overline {65:64}}}$ указывает ежегодную ренту в размере 1 единицы до более поздней смерти члена семьи или смерти супруга для кого-либо в возрасте 65 лет, а супруга - 64 года.

${ displaystyle a_ {65} ^ {(12)}}$ указывает аннуитет в размере 1 единицы в год, выплачиваемый 12 раз в год (1/12 единицы в месяц) до смерти человеку в возрасте 65 лет.

${ displaystyle { ddot {a}} _ {65}}$ указывает ежегодную ренту в размере 1 единицы, выплачиваемую в начале каждого года до смерти человеку, которому сейчас 65 лет

или вообще:

${ displaystyle a_ {x: { overline {n |}} i} ^ {(m)}}$ , куда ${ displaystyle x}$ это возраст ренты, ${ displaystyle n}$ количество лет выплат (или до смерти, если раньше), ${ displaystyle m}$ - количество платежей в год, и ${ displaystyle i}$ это процентная ставка.

В интересах простоты обозначение ограничено и, например, не показывает, выплачивается ли аннуитет мужчине или женщине (факт, который обычно определяется из контекста, включая то, основана ли таблица дожития на мужчинах или женщинах). показатели женской смертности).

Актуарную приведенную стоимость условных платежей за пожизненный доход можно рассматривать как математическое ожидание случайной величины приведенной стоимости или рассчитывать с помощью текущей формы платежа.

Страхование жизни

Основной символ для страхование жизни является ${ displaystyle , A}$ . Затем можно добавить следующие обозначения:

Обозначение в правом верхнем углу указывает время выплаты компенсации в случае смерти. Отсутствие обозначения означает, что выплаты производятся в конце года смерти. Цифра в скобках (например, ${ displaystyle A ^ {(12)}}$ ) означает, что пособие выплачивается в конце указанного периода (12 - ежемесячно, 4 - ежеквартально, 2 - раз в полгода, 365 - ежедневно).
Обозначение в правом нижнем углу указывает возраст человека, когда начинается страхование жизни.
Обозначение непосредственно над основным символом указывает на «тип» страхования жизни, подлежащее выплате в конце периода или немедленно. Горизонтальная линия указывает на страхование жизни, подлежащее немедленной выплате, а отсутствие отметки над символом указывает на то, что оплата должна быть произведена в конце указанного периода.

Например:

${ displaystyle , A_ {x}}$ указывает на размер страхового возмещения в размере 1, выплачиваемого в конце года смерти.

${ displaystyle , A_ {x} ^ {(12)}}$ указывает на страхование жизни в размере 1, выплачиваемое в конце месяца смерти.

${ displaystyle , { overline {A}} _ {x}}$ обозначает выплату по страхованию жизни в размере 1 в (математический) момент смерти.

Премиум

Основной символ для премия является ${ displaystyle , P}$ или же ${ displaystyle , pi}$ . ${ displaystyle , P}$ обычно относится к чистым премиям за год, ${ displaystyle , pi}$ к специальным премиям, как к уникальной премии.

Сила смертности

Среди актуариев сила смертности относится к тому, что экономисты и другие социологи называют степень опасности и понимается как мгновенный уровень смертности в определенном возрасте, измеренный в годовом исчислении.

В таблице смертности мы учитываем вероятность смерти человека в возрасте (Икс) и возраст Икс + 1; эта вероятность называется q_Икс. В непрерывном случае мы могли бы также рассмотреть условная возможность что человек, достигший возраста (Икс) умрет в возрасте (Икс) и возраст (Икс + ΔИкс) в качестве:

{ Displaystyle P _ { Delta x} (x) = P (x x) = { frac {F_ {X} (x + Delta ; x) -F_ {X} (x)} {(1-F_ {X} (x))}}}

куда F_Икс(Икс) это кумулятивная функция распределения непрерывного возраста смерти случайная переменная, X. Поскольку ΔИкс стремится к нулю, как и эта вероятность в непрерывном случае. Приблизительная сила смертности равна этой вероятности деленной на ΔИкс. Если положить ΔИкс стремятся к нулю, получаем функцию для сила смертности, обозначенный как μ(Икс):

{ displaystyle mu , (x) = { frac {F '_ {X} (x)} {1-F_ {X} (x)}}}