Адаптивное представление Габора - Adaptive Gabor representation

Адаптивное представление Габора (AGR) это Представительство Габора сигнала, дисперсия которого регулируется. Всегда есть компромисс между разрешением по времени и разрешением по частоте в традиционных кратковременное преобразование Фурье (STFT). Длинное окно приводит к высокому разрешению по частоте и низкому разрешению по времени. С другой стороны, высокое временное разрешение требует более короткого окна за счет низкого частотного разрешения. Путем выбора правильной элементарной функции для сигнала с различной структурой спектра адаптивное представление Габора способно работать как с узкополосным, так и с широкополосным сигналом.

Расширение Gabor

В 1946 г. Деннис Габор предположил, что сигнал может быть представлен в двух измерениях, с координатами времени и частоты. И сигнал может быть расширен до дискретного набора гауссовых элементарных сигналов.

Определение

Разложение Габора сигнала s (t) определяется этой формулой:

${ displaystyle s (t) = sum _ {m = - infty} ^ { infty} sum _ {n = - infty} ^ { infty} C_ {m, n} h (t-mT) е ^ {jnt Omega}}$

куда час(т) - элементарная функция Гаусса:

${ displaystyle h (t) = left ({ frac { alpha} { pi}} right) ^ { frac {1} {4}} e ^ { left (- { frac { alpha } {2}} t ^ {2} right)}}$

После определения элементарной функции Габора коэффициенты Габора ${ displaystyle C_ {m, n}}$можно получить скалярным произведением s (t) и двойственной функции ${ Displaystyle gamma (т)}$

${ Displaystyle C_ {m, n} = int s (t) gamma ^ {*} (t-mT) e ^ {- jnt Omega} , dt.}$

${ displaystyle T}$ и ${ displaystyle Omega}$ обозначают шаги выборки по времени и частоте и удовлетворяют критериям

${ Displaystyle Т Омега leqq 2 пи ,}$

Связь между представлением Габора и преобразованием Габора

Преобразование Габора просто вычисляет коэффициенты Габора ${ displaystyle C_ {m, n}}$ для сигнала s (t).

Адаптивное расширение

Адаптивное расширение сигнала определяется как

${ displaystyle s left (t right) = sum _ {p} B_ {p} h_ {p} (t)}$

где коэффициенты ${ displaystyle B_ {p}}$ получаются скалярным произведением сигнала s (t) и элементарной функции ${ displaystyle h_ {p}}$

${ displaystyle B_ {p} = left langle s, h_ {p} right rangle ,}$

Коэффициенты ${ displaystyle B_ {p}}$ представляют собой сходство между сигналом и элементарной функцией.
Адаптивная декомпозиция сигнала - это итерационная операция, цель которой - найти набор элементарных функций. ${ Displaystyle влево {ч_ {р} (т) вправо }}$, что наиболее похоже на частотно-временную структуру сигнала.
Сначала начнем с w = 0 и ${ Displaystyle s_ {0} влево (т вправо) = s влево (т вправо)}$. Тогда найди ${ Displaystyle ч_ {0} влево (т вправо)}$ который имеет максимальное внутреннее произведение с сигналом ${ Displaystyle S_ {0} влево (т вправо)}$ и

${ Displaystyle left | B_ {p} right | ^ {2} = max _ {h} left | left langle s_ {p} (t), h_ {p} (t) right rangle right | ^ {2}}$

Во-вторых, вычислите остаток:

${ Displaystyle s_ {1} left (t right) = s_ {0} left (t right) -B_ {0} h_ {0} left (t right),}$

и так далее. Выйдет набор остаточный (${ Displaystyle s_ {p} влево (т вправо)}$), проекция (${ displaystyle B_ {p} = left langle s_ {p} (t), h_ {p} (t) right rangle}$), и элементарная функция (${ Displaystyle ч_ {п} влево (т вправо)}$) для каждого отдельного п. Энергия остатка исчезнет, ​​если мы продолжим разложение.

Уравнение сохранения энергии

Если элементарное уравнение (${ Displaystyle ч_ {п} влево (т вправо)}$) рассчитан на единицу энергии. Тогда энергия, содержащаяся в остатке на p-м этапе, может быть определена как остаток на p + 1-м этапе плюс (${ displaystyle B_ {p}}$). То есть,

${ displaystyle left | s_ {p} (t) right | ^ {2} = left | s_ {p + 1} (t) right | ^ {2} + left | B_ { p} right | ^ {2},}$

${ displaystyle left | s (t) right | ^ {2} = sum _ {p = o} ^ { infty} left | B_ {p} right | ^ {2},}$

аналогично Теорема Парсеваля в анализе Фурье.

Выбор элементарной функции является основной задачей при адаптивной декомпозиции сигнала. Для достижения нижней оценки неравенства естественно выбрать функцию гауссова типа:

${ displaystyle h_ {p} (t) = left ({ frac { alpha} { pi}} right) ^ { frac {1} {4}} e ^ {- { frac { alpha } {2}} (t-T_ {p}) ^ {2}} e ^ {jt Omega _ {p}},}$

куда ${ displaystyle left (T_ {p}, Omega _ {p} right)}$ это значит и ${ displaystyle alpha _ {p} ^ {- 1}}$ - дисперсия гауссианы при ${ displaystyle left (T_ {p}, Omega _ {p} right)}$. И

${ Displaystyle s left (t right) = sum _ {p} B_ {p} h_ {p} (t) = sum _ {p} B_ {p} left ({ frac { alpha} { pi}} right) ^ { frac {1} {4}} e ^ {- { frac { alpha} {2}} (t-T_ {p}) ^ {2}} e ^ { jt Omega _ {p}}}$

называется адаптивным представлением Габора.

Изменение значения дисперсии изменит продолжительность элементарной функции (размер окна), и центр элементарной функции больше не будет фиксированным. Регулируя центральную точку и дисперсию элементарной функции, мы можем согласовать локальную частотно-временную характеристику сигнала. Лучшая производительность адаптации достигается за счет процесса согласования. Компромисс между различной длиной окна теперь становится компромиссом между временем вычислений и производительностью.

Смотрите также

• Преобразование Габора
• Кратковременное преобразование Фурье

Рекомендации

• M.J. Bastiaans, "Разложение Габора сигнала в гауссовские элементарные сигналы", Proceedings of the IEEE, vol. 68, Issue: 4, pp. 538–539, апрель 1980 г.
• Ши Цянь и Дапанг Чен, «Представление сигнала с использованием адаптивных нормализованных функций Гаусса», Обработка сигналов, т. 42, № 3, стр. 687–694, март 1994 г.
• Цинье Инь, Ши Цянь и Айган Фэн, "Быстрое уточнение для адаптивного гауссовского разложения щебета", IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 50, № 6, стр. 1298–1306, июнь 2002 г.
• Ши Цянь, Введение в частотно-временные и вейвлет-преобразования, Прентис Холл, 2002