Аддитивная цепь Маркова - Additive Markov chain

В теория вероятности, аддитивная цепь Маркова это Цепь Маркова с добавка условная возможность функция. Здесь процесс дискретное время Марковская цепь порядка м а вероятность перехода в состояние в следующий раз представляет собой сумму функций, каждая из которых зависит от следующего состояния и одного из м предыдущие состояния.

Определение

Аддитивная марковская цепь порядка м это последовательность случайные переменные Икс₁, Икс₂, Икс₃, ..., обладающий следующим свойством: вероятность того, что случайная величина Икс_п имеет определенную ценность Икс_п при условии, что значения всех предыдущих переменных фиксированы, зависит от значений м только предыдущие переменные (Цепь Маркова порядка м), а влияние предыдущих переменных на сгенерированную является аддитивным,

${displaystyle Pr (X_ {n} = x_ {n} mid X_ {n-1} = x_ {n-1}, X_ {n-2} = x_ {n-2}, точки, X_ {nm} = x_) {nm}) = sum _ {r = 1} ^ {m} f (x_ {n}, x_ {nr}, r).}$

Двоичный регистр

А двоичный аддитивная цепь Маркова - это то, где пространство состояний цепочки состоит только из двух значений, Икс_п ∈ { Икс₁, Икс₂ }. Например, Икс_п ∈ {0, 1}. Функцию условной вероятности бинарной аддитивной цепи Маркова можно представить в виде

${displaystyle Pr (X_ {n} = 1mid X_ {n-1} = x_ {n-1}, X_ {n-2} = x_ {n-2}, точки) = {ar {X}} + сумма _ {r = 1} ^ {m} F (r) (x_ {nr} - {ar {X}}),}$

${displaystyle Pr (X_ {n} = 0mid X_ {n-1} = x_ {n-1}, X_ {n-2} = x_ {n-2}, точки) = 1-Pr (X_ {n} = 1 середина X_ {n-1} = x_ {n-1}, X_ {n-2} = x_ {n-2}, точки).}$

Здесь ${displaystyle {ar {X}}}$ вероятность найти Икс_п = 1 в последовательности иF(р) называется функцией памяти. Значение ${displaystyle {ar {X}}}$ и функция F(р) содержат всю информацию о корреляция свойства цепи Маркова.

Связь между функцией памяти и корреляционной функцией

В двоичном случае корреляционная функция между переменными ${displaystyle X_ {n}}$ и ${displaystyle X_ {k}}$ цепи зависит от расстояния ${displaystyle n-k}$ Только. Это определяется следующим образом:

${displaystyle K (r) = langle (X_ {n} - {ar {X}}) (X_ {n + r} - {ar {X}}) угол = langle X_ {n} X_ {n + r} угол - {ar {X}} ^ {2},}$

где символ ${displaystyle langle cdots angle}$ обозначает усреднение по всем п. По определению,

${displaystyle K (-r) = K (r), K (0) = {ar {X}} (1- {ar {X}}).}$

Существует связь между функцией памяти и корреляционной функцией двоичной аддитивной цепи Маркова:^[1]

${displaystyle K (r) = sum _ {s = 1} ^ {m} K (r-s) F (s) ,,,,, r = 1,2, точки,.}$

Смотрите также

• Примеры цепей Маркова

Примечания

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Сентябрь 2010 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Рекомендации

• А.А. Марков. (1906) "Распространение закона больших зубил на величины, зависящие от другого". Известия Физико-математического общества при Казанском университете., 2-я серия, том 15, 135–156
• А.А. Марков. (1971) «Распространение предельных теорем теории вероятностей на сумму переменных, соединенных в цепочку». перепечатано в Приложении B к: R. Howard. Динамические вероятностные системы, том 1: Марковские цепи. Джон Уайли и сыновья
• С. Ход; У. Кешет (2004). «Фазовый переход в случайных блужданиях с дальнодействующими корреляциями». Phys. Ред. E. 70: 015104. arXiv:cond-mat / 0311483. Bibcode:2004PhRvE..70a5104H. Дои:10.1103 / PhysRevE.70.015104.
• S.L. Нарасимхан; J.A. Натан; К.П.Н. Мурти (2005). «Может ли грубое зерно ввести дальние корреляции в символическую последовательность?». Europhys. Латыш. 69 (1): 22. arXiv:cond-mat / 0409042. Bibcode:2005ЭЛ ..... 69 ... 22Н. Дои:10.1209 / epl / i2004-10307-2.
• Рамакришнан, С. (1981) "Конечно-аддитивные цепи Маркова", Труды Американского математического общества, 265 (1), 247–272 JSTOR  1998493