Разложение аддитивного состояния - Additive state decomposition

Разложение аддитивного состояния происходит, когда система раскладывается на два или более подсистемы с тем же измерение как в исходной системе.^[1]^[2] Обычно используемая декомпозиция в поле управления заключается в декомпозиции системы на две или более подсистем более низкого порядка, что здесь называется декомпозицией подсистем более низкого порядка. Напротив, декомпозиция аддитивного состояния состоит в том, чтобы разложить систему на две или более подсистем с той же размерностью, что и исходная система.^[3]

Принимая систему $п$ например, он разбит на две подсистемы: $п п$ и $п s$ , куда $тусклый (п п) = п п$ и $тусклый (п s) = п s$ , соответственно. Разложение подсистемы нижнего порядка удовлетворяет

{ displaystyle n = n_ {p} + n_ {s} { text {and}} P = P_ {p} oplus P_ {s}}

Напротив, разложение аддитивного состояния удовлетворяет

{ displaystyle n = n_ {p} = n_ {s} { text {and}} P = P_ {p} + P_ {s}}

О динамической системе управления

Рассмотрим «оригинальную» систему следующим образом:

{ Displaystyle { точка {х}} = е (т, х, и), х (0) = х_ {0}}

(1)

куда ${ Displaystyle х в mathbb {R} ^ {п}}$ .

Сначала вводится «первичная» система, имеющая то же измерение, что и исходная система:

{ displaystyle { dot {x}} _ {p} = f_ {p} (t, x_ {p}, u_ {p}),}

{ displaystyle x_ {p} (0) = x_ {p, 0}}

(2)

куда ${ displaystyle x_ {p} in mathbb {R} ^ {n}.}$

Из исходной системы и первичной системы получается следующая «вторичная» система:

{ displaystyle { dot {x}} - { dot {x}} _ {p} = f (t, x, u) -f_ {p} (t, x_ {p}, u_ {p}), х (0) = х_ {0}}

Новые переменные ${ displaystyle x_ {s} in mathbb {R} ^ {n}}$ определяются следующим образом:

{ displaystyle x_ {s} = x-x_ {p},}

{ displaystyle u_ {s} = u-u_ {p}.}

(3)

Тогда вторичную систему можно записать следующим образом:

{ displaystyle { dot {x}} _ {s} = f (t, x_ {p} + x_ {s}, u_ {p} + u_ {s})}

{ displaystyle -f_ {p} (t, x_ {p}, u_ {p}), x_ {s} (0) = x_ {0} -x_ {p, 0},}

(4)

Из определения (3), следует

{ Displaystyle х (т) = х_ {р} (т) + х_ {s} (т),}

{ displaystyle t geq 0.}

Процесс показан на этой картинке:

Примеры

Пример 1

Фактически, идея разложения аддитивного состояния неявно упоминалась в существующей литературе. Существующий пример - конструкция контроллера слежения, которая часто требует системы отсчета для получения динамики ошибок. Предполагается, что эталонная система (первичная система) задана следующим образом:

{ displaystyle { dot {x}} _ {r} = f (t, x_ {r}, u_ {r}),}

{ displaystyle x_ {r} (0) = x_ {r, 0}}

На основе системы отсчета динамика ошибок (вторичная система) выводится следующим образом:

{ displaystyle { dot {x}} _ {e}}

{ displaystyle = f (t, x_ {e} + x_ {r}, u) -f (t, x_ {r}, u_ {r}),}

{ displaystyle x_ {e} (0) = x_ {0} -x_ {r, 0}}

куда ${ displaystyle x_ {e} = x-x_ {r}}$

Это обычно используемый шаг для преобразования проблемы отслеживания в проблему стабилизации при использовании адаптивного управления.

Пример 2

Рассмотрим следующий класс систем:

{ displaystyle { dot {x}} (t) = left (A + Delta A (t) right) x (t) + A_ {d} x (t-T) + Br (t)}

${ Displaystyle е (т) = - влево (С + Дельта С (т) вправо) х (т) + г (т)}$

{ Displaystyle х ( тета) = фи ( тета), тета в [-T, 0]}

(5)

Выбирать (5) в качестве исходной системы и спроектируйте основную систему следующим образом:

{ displaystyle { dot {x}} _ {p} (t) = Ax_ {p} (t) + A_ {d} x_ {p} (t-T) + Br (t)}

${ displaystyle e_ {p} (t) = - Cx_ {p} (t) + r (t)}$

{ displaystyle x_ {p} ( theta) = phi ( theta), theta in [-T, 0]}

(6)

Тогда вторичная система определяется по правилу (4):

{ displaystyle { dot {x}} _ {s} (t) = left (A + Delta A (t) right) x_ {s} (t) + A_ {d} x_ {s} (tT) + Delta A (t) x_ {p} (t)}

${ Displaystyle e_ {s} (t) = - влево (C + Delta C (t) right) x_ {s} (t) - Delta C (t) x_ {p} (t)}$

{ Displaystyle x_ {s} ( theta) = 0, theta in [-T, 0]}

(7)

Путем разложения по аддитивному состоянию

{ Displaystyle е (т) = е_ {р} (т) + е_ {s} (т)}

С

{ Displaystyle | е (т) | Leq | е_ {р} (т) | + | е_ {s} (т) |}

ошибка отслеживания $е (т)$ можно проанализировать $е п (т)$ и $е s (т)$ раздельно. Если $е п (т)$ и $е s (т)$ ограничены и малы, то $е (т)$ . К счастью, обратите внимание, что (6) является линейной инвариантной во времени системой и не зависит от вторичной системы (7), для анализа которого доступны многие инструменты, такие как передаточная функция. Напротив, инструмент передаточной функции нельзя напрямую применить к исходной системе (5), поскольку оно меняется во времени.

Пример 3

Рассмотрим класс нелинейных систем следующим образом:

{ displaystyle { dot {x}} = Ax + bu + phi (y) + d, x (0) = x_ {0}}

{ displaystyle y = c ^ {T} x}

(8)

куда $Икс, y, ты$ представляют состояние, выход и вход соответственно; функция $φ (•)$ нелинейно. Цель состоит в том, чтобы спроектировать $ты$ такой, что $y - р \to 0$ в качестве $т \to \infty$ . Выбирать (8) в качестве исходной системы и спроектируйте основную систему следующим образом:

{ displaystyle { dot {x}} _ {p} = Ax_ {p} + bu_ {p} + phi (r) + d, x_ {p} (0) = x_ {0}}

{ displaystyle y_ {p} = c ^ {T} x_ {p}}

(9)

Тогда вторичная система определяется по правилу (4):

{ displaystyle { dot {x}} _ {s} = Ax_ {s} + bu_ {s} + phi left (c ^ {T} x_ {p} + c ^ {T} x_ {s} справа) - phi (r), x_ {s} (0) = 0}

{ displaystyle y_ {s} = c ^ {T} x_ {s}}

(10)

куда $ты s = ты п$ . потом $Икс = Икс п + Икс s$ и $y = y п + y s$ . Здесь задача $y п \to 0$ приписывается линейной инвариантной во времени системе (9) (линейная инвариантная во времени система проще нелинейной). С другой стороны, задача $Икс s \to 0$ относится к нелинейной системе (10) (задача стабилизирующего управления проще задачи слежения). Если две задачи выполнены, то $y = y п + y s \to 0$ . Основная идея состоит в том, чтобы разложить исходную систему на две подсистемы, отвечающие за более простые подзадачи. Затем разрабатывают контроллеры для двух подзадач и, наконец, объединяют их для достижения исходной задачи управления. Процесс показан на этой картинке:

В сравнении с принцип суперпозиции

Хорошо известным примером неявного использования аддитивной декомпозиции состояния является принцип суперпозиции, широко используемый в физике и технике.
принцип суперпозиции: Для всех линейных систем чистый ответ в данном месте и в определенное время, вызванный двумя или более стимулами, представляет собой сумму ответов, которые были бы вызваны каждым стимулом индивидуально. Для простой линейной системы:

{ displaystyle { dot {x}} = Ax + B (u_ {1} + u_ {2})}

,

{ Displaystyle х (0) = 0}

изложение принципа суперпозиции означает $Икс = Икс п + Икс s$ , куда

{ displaystyle { dot {x}} _ {p} = Ax_ {p} + Bu_ {1}, x_ {p} (0) = 0}

{ displaystyle { dot {x}} _ {s} = Ax_ {s} + Bu_ {2}, x_ {s} (0) = 0}

Очевидно, этот результат также может быть получен из разложения аддитивного состояния. Более того, принцип суперпозиции и разложение по аддитивным состояниям связаны следующим образом: из таблицы 1 разложение по аддитивным состояниям может применяться не только к линейным, но и к нелинейным системам.

	Подходящие системы	Акцент
Принцип суперпозиции	Линейный	Суперпозиция
Разложение аддитивного состояния	Линейный нелинейный	Разложение

Приложения

Разложение по аддитивному состоянию используется в стабилизирующем управлении,^[4] и может быть расширен до аддитивного разложения вывода.^[5]

дальнейшее чтение

Цюань, Цюань и Кай-Юань Цай (2009). «Аддитивная декомпозиция и ее приложения для отслеживания на основе внутренней модели». Совместная 48-я конференция IEEE по решениям и контролю и 28-я Китайская конференция по контролю, Шанхай, Китай. 817–822.
Цюань Цюань, Хай Линь, Кай-Юань Цай (2014). «Управление отслеживанием обратной связи по выходу путем разложения аддитивного состояния для класса неопределенных систем», Международный журнал системной науки 45(9): 1799–1813.
Цюань Цюань, Кай-Юань Цай, Хай Линь (2015). «Система управления отслеживанием на основе разложения аддитивных состояний для класса неминимальных фазовых систем с измеримыми нелинейностями и неизвестными возмущениями», Международный журнал робастного и нелинейного управления 25(2):163–178
Цюань Цюань, Лу Цзян, Кай-Юань Цай. "Робастное повторяющееся управление с дискретным временем и обратной связью для одного класса нелинейных систем путем разложения по аддитивным состояниям"

[Staffans2005-1] Улоф Стаффанс (24 февраля 2005 г.). Корректные линейные системы. Издательство Кембриджского университета. стр.13 –. ISBN 978-0-521-82584-9.

[2] Обеспечение качества обслуживания в неоднородных средах. Эльзевир. стр. 626–. ISBN 978-0-444-51455-4.

[Eisenbud1999-3] Дэвид Эйзенбуд (1 июля 1999 г.). Коммутативная алгебра, алгебраическая геометрия и вычислительные методы. Springer Singapore. С. 67–. ISBN 978-981-4021-50-0.

[4] Цюань Цюань, Гуансюнь Ду, Кай-Юань Цай. "Аддитивно-разложение состояния динамического управления, стабилизированного инверсией для класса неопределенных систем MIMO", https://arxiv.org/abs/1211.6821

[5] Цюань Цюань, Кай-Юань Цай. «Управление отслеживанием динамической инверсии на основе аддитивного вывода-разложения для класса неопределенных линейных инвариантных во времени систем», 51-я конференция IEEE по принятию решений и управлению, 2012 г., Мауи, Гавайи, США, 2866–2871.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]