Сплайн Акима - Akima spline

В прикладной математике Сплайн Акима это тип несглаживающего сплайн это хорошо подходит для кривых, где вторая производная быстро меняется.^[1] Сплайн Акима был опубликован Хироши Акима в 1970 году.^[2]

Метод

Учитывая набор «узловых» точек ${ Displaystyle (х_ {я}, у_ {я})}$, где ${ displaystyle x_ {i}}$ строго возрастают, сплайн Акима пройдет через каждую из заданных точек. В этих точках его наклон, ${ displaystyle s_ {i}}$, является функцией расположения точек ${ Displaystyle (х_ {я-2}, у_ {я-2})}$ через ${ Displaystyle (х_ {я + 2}, у_ {я + 2})}$. В частности, мы определяем ${ displaystyle m_ {i}}$ как наклон отрезка от ${ Displaystyle (х_ {я}, у_ {я})}$ к ${ Displaystyle (х_ {я + 1}, у_ {я + 1})}$, а именно ${ Displaystyle (у_ {я + 1} -у_ {я}) / (х_ {я + 1} -x_ {я})}$. Потом, ${ displaystyle s_ {i}}$ определяется следующим образом средневзвешенное из ${ displaystyle m_ {i-1}}$ и ${ displaystyle m_ {i}}$:

${ displaystyle s_ {i} = { frac {| m_ {i + 1} -m_ {i} | m_ {i-1} + | m_ {i-1} -m_ {i-2} | m_ {i) }} {| m_ {i + 1} -m_ {i} | + | m_ {i-1} -m_ {i-2} |}}}$

Затем сплайн определяется как кусочно-кубическая функция, значение которой находится между ${ displaystyle x_ {i}}$ и ${ displaystyle x_ {я + 1}}$ - единственный кубический многочлен ${ Displaystyle P (x)}$ который удовлетворяет четырем ограничениям: ${ Displaystyle Р (х_ {я}) = у_ {я}}$, ${ Displaystyle Р (х_ {я + 1}) = у_ {я + 1}}$, ${ displaystyle P '(x_ {i}) = s_ {i}}$, и ${ Displaystyle P '(х_ {я + 1}) = s_ {я + 1}}$.

Сплайн Акима - это C¹ дифференцируемая функция (то есть имеет непрерывную первую производную), но, как правило, будет иметь разрывную вторую производную в узловых точках.

Преимущество сплайна Акима заключается в том, что он использует только значения из соседних узловых точек при построении коэффициентов интерполяционного полинома между любыми двумя узловыми точками. Это означает, что не существует большой системы уравнений для решения, а сплайн Акима позволяет избежать нефизических колебаний в областях, где вторая производная базовой кривой быстро изменяется. Возможный недостаток сплайна Акима состоит в том, что он имеет разрывную вторую производную.^[3]

использованная литература

внешние ссылки

• Онлайн-демонстрация сплайн-интерполяции Акима в TypeScript

Эта статья по математике заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.