Последовательность Алкуина - Википедия - Alcuins sequence

В математика, Последовательность Алкуина, названный в честь Алкуин Йоркский, - последовательность коэффициентов разложения в степенной ряд:^[1]

${ displaystyle { frac {x ^ {3}} {(1-x ^ {2}) (1-x ^ {3}) (1-x ^ {4})}} = x ^ {3} + x ^ {5} + x ^ {6} + 2x ^ {7} + x ^ {8} + 3x ^ {9} + cdots.}$

Последовательность начинается с этих целых чисел:

0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8, 12, 10, 14, 12, 16, 14, 19, 16, 21 (последовательность A005044 в OEIS )

В пth член - это количество треугольники с целыми сторонами и периметрп.^[1] Это также количество треугольников с отчетливый целые стороны и периметр п + 6, то есть количество троек (а, б, c) такое, что 1 ≤а < б < c < а + б, а + б + c = п + 6.

Если удалить три ведущих нуля, то это будет количество способов, которыми п пустые бочки, п бочки наполовину полны вина и п полные бочки могут быть распределены между тремя людьми таким образом, чтобы каждый получил одинаковое количество бочек и одинаковое количество вина. Это обобщение проблемы 12 из Propositiones ad Acuendos Juvenes («Проблемы обострения молодых») обычно приписывают Алкуину. Эта проблема представлена ​​как,

Задача 12: Некий отец умер и оставил в наследство своим трем сыновьям 30 стеклянных фляг, из которых 10 были полны масла, еще 10 были наполовину полны, а еще 10 были пусты. Разделите масло и фляги так, чтобы равная доля товаров равным образом досталась трем сыновьям масла и стекла.^[2]

Термин «последовательность Алкуина» восходит к книге Д. Оливастро 1993 года о математических играх. Древняя головоломка: классические головоломки и другие вечные математические игры последних 10 веков (Бантам, Нью-Йорк).^[3]

Последовательность с удаленными тремя ведущими нулями получается как последовательность коэффициентов разложения в ряд по степеням^[4][5]

${ displaystyle { frac {1} {(1-x ^ {2}) (1-x ^ {3}) (1-x ^ {4})}} = 1 + x ^ {2} + x ^ {3} + 2x ^ {4} + x ^ {5} + 3x ^ {6} + cdots.}$

Эта последовательность также была названа некоторыми авторами последовательностью Алкуина.^[5]

Рекомендации