Приближенная теорема о максимальном расходе и минимальном сокращении - Approximate max-flow min-cut theorem

Приблизительный теоремы о максимальном потоке и минимальном сечении математические предложения в сетевой поток теория. Они касаются взаимосвязи между максимальной скоростью потока («максимальный поток») и минимальный разрез ("min-cut") в проблема многопродуктового потока. Эти теоремы позволили разработать аппроксимационные алгоритмы для использования в раздел графа и связанные с этим проблемы.

Проблема многопродуктового потока

«Товар» в проблеме сетевого потока - это пара источник и приемник. узлы. В задаче многопродуктового потока есть $k\geq1$ товары, каждый со своим источником ${ displaystyle s_ {i}}$ , раковина ${ displaystyle t_ {i}}$ , и спрос ${ displaystyle D_ {i}}$ . Цель состоит в том, чтобы одновременно направить ${ displaystyle D _ { text {i}}}$ единицы товара $я$ из ${ displaystyle s_ {i}}$ к ${ displaystyle t_ {i}}$ для каждого $я$ , такое, что общее количество всех товаров, проходящих через любое ребро, не превышает его вместимости. (В случае неориентированных ребер сумма потоков в обоих направлениях не может превышать пропускную способность ребра).^[1]В частности, проблема потока одного товара (или одного товара) также известна как проблема максимального потока. Согласно Алгоритм Форда – Фулкерсона, max-flow и min-cut всегда равны в задаче с 1 товарным потоком.

Максимальный расход и минимальная резка

В проблеме многопродуктовых потоков максимальный расход это максимальное значение $ж$ , куда $ж$ это общая доля каждого направляемого товара, такая что ${ displaystyle fD _ { text {i}}}$ единицы товара $я$ может быть одновременно маршрутизирован для каждого $я$ без нарушения каких-либо ограничений мощности.min-cut это минимум всех сокращений соотношения ${ displaystyle varphi}$ мощности разреза до потребности разреза. Максимальный поток всегда ограничен сверху минимальным разрезом для задачи многопродуктового потока.

Задача однородного многопродуктового потока

В задаче однородного многопродуктового потока существует товар для каждой пары узлов, и спрос на каждый товар одинаков. (Без потери общности, спрос на каждый товар устанавливается равным единице.) Базовая сеть и мощности произвольны.^[1]

Проблема многопродуктового потока продукции

В задаче о многотоваровом потоке продукта для каждого узла существует неотрицательный вес. ${ displaystyle v in V}$ в графике ${ Displaystyle G = (V, E)}$ . Спрос на товар между узлами $ты$ и $v$ это произведение весов узла $ты$ и узел $v$ . Задача о равномерном многопродуктовом потоке - это частный случай задачи о многопродуктовом потоке, для которой вес установлен на 1 для всех узлов. ${ displaystyle u in V}$ .^[1]

Двойственность линейного программирования

В общем случае двойственная задача многопродуктового потока для графа $грамм$ - это проблема распределения фиксированного веса (где веса можно рассматривать как расстояния) краям $грамм$ таким образом, чтобы максимально увеличить совокупное расстояние между парами источника и стока.^[1]

История

Исследование взаимосвязи между максимальным потоком и минимальным сокращением для задачи о потоке нескольких товаров вызвало большой интерес после получения результата Форда и Фулкерсона для задач потока одного товара. Ху^[2]показал, что max-flow и min-cut всегда равны для двух товаров. Окамура и Сеймур^[3] проиллюстрировал задачу о потоке из 4 товаров с максимальным потоком, равным 3/4, и минимальным сокращением, равным 1. Шахрохи и Матула^[4] также доказано, что max-flow и min-cut равны при условии, что двойственная задача потока удовлетворяет определенному условию разреза в задаче однородного многопродуктового потока. Многие другие исследователи также показали конкретные результаты исследований схожих проблем.^[5]^[6]^[7]

Для общей проблемы сетевого потока максимальный поток находится в пределах коэффициента $k$ минимальной резки, поскольку каждый товар можно оптимизировать отдельно, используя ${ displaystyle 1 / k}$ емкости каждого края. Это не очень хороший результат, особенно при большом количестве товаров.^[1]

Приближенные теоремы о максимальном расходе и минимальном сокращении

Теоремы о задачах равномерного многопродуктового потока

Есть две теоремы, впервые введенные Томом Лейтоном и Сатишем Рао в 1988 году.^[8]а затем продлен в 1999 году.^[1] Теорема 2 дает более жесткую оценку по сравнению с теоремой 1.

Теорема 1. Для любого $п$ , существует $п$ -узловая задача однородного многопродуктового потока с max-flow $ж$ и min-cut ${ displaystyle varphi}$ для которого ${ displaystyle f leq O left ({ frac { varphi} { log n}} right)}$ .^[1]

Теорема 2. Для любой задачи о равномерном потоке нескольких товаров ${ displaystyle Omega left ({ frac { varphi} { log n}} right) leq f leq varphi}$ , куда $ж$ максимальный расход и ${ displaystyle varphi}$ является минимальным разрезом задачи однородного многопродуктового потока.^[1]

Для доказательства теоремы 2 следует обсудить как max-поток, так и min-разрез. Для максимального потока должны использоваться методы теории двойственности линейного программирования. Согласно теории двойственности линейного программирования, функция оптимального расстояния дает общий вес, равный максимальному потоку задачи однородного многопродуктового потока. Для минимальной резки необходимо следовать трехэтапному процессу:^[1]^[6]

Этап 1: Рассмотрим двойственную задачу однородного товарного потока и используем оптимальное решение для определения графа с метками расстояний на краях.

Этап 2: Начиная с источника или приемника, увеличивайте область на графике до тех пор, пока не найдете срез достаточно малой емкости, отделяющий корень от его партнера.

Этап 3: удалите область и повторите процесс этапа 2, пока все узлы не будут обработаны.

Обобщено на проблему многопродуктовых потоков продуктов

Теорема 3. Для любой проблемы многопродуктового потока продукции с $k$ товары, ${ displaystyle Omega left ({ frac { varphi} { log k}} right) leq f leq varphi}$ , куда $ж$ максимальный расход и ${ displaystyle varphi}$ является минимальным разрезом задачи о потоке нескольких товаров.^[1]

Методология доказательства аналогична теореме 2; основное отличие состоит в том, чтобы принимать во внимание веса узлов.

Расширен до задачи направленного многопродуктового потока

В задаче с направленным потоком нескольких товаров каждая кромка имеет направление, и движение потока в указанном направлении ограничено. В задаче о направленном однородном потоке нескольких товаров спрос устанавливается равным 1 для каждого направленного края.

Теорема 4. Для любой задачи направленного равномерного многопродуктового потока с $п$ узлы, ${ displaystyle Omega left ({ frac { varphi} { log n}} right) leq f leq varphi}$ , куда $ж$ максимальный расход и ${ displaystyle varphi}$ является минимальным разрезом задачи однородного многопродуктового потока.^[1]

Основное отличие методологии доказательства от теоремы 2 состоит в том, что теперь необходимо учитывать направления ребер при определении меток расстояний на этапе 1, а для наращивания областей на этапе 2 более подробную информацию можно найти в.^[1]

Точно так же для задачи о многопродуктовом потоке имеет место следующая расширенная теорема:

Теорема 5. Для любой задачи с направленным многопродуктовым потоком продукции с $k$ товары, ${ displaystyle Omega left ({ frac { varphi} { log k}} right) leq f leq varphi}$ , куда $ж$ максимальный расход и ${ displaystyle varphi}$ является направленным минимальным разрезом задачи многопродуктового потока продукта.^[1]

Приложения к аппроксимационным алгоритмам

Приведенные выше теоремы очень полезны для разработки аппроксимационные алгоритмы за NP-жесткий проблемы, такие как раздел графа проблема и ее вариации. Ниже мы вкратце представим несколько примеров, а более подробные разработки можно найти в Leighton and Rao (1999).^[1]

Самые редкие порезы

Самый редкий разрез графа ${ Displaystyle G = (V, E)}$ представляет собой разбиение, для которого отношение количества ребер, соединяющих два разбитых компонента, к произведению количества узлов обоих компонентов минимизировано. Это NP-сложная задача, и ее можно аппроксимировать с точностью до ${ Displaystyle О ( журнал п)}$ фактор, используя теорему 2. Кроме того, проблема разреженного разреза с взвешенными ребрами, взвешенными узлами или направленными ребрами может быть аппроксимирована в пределах ${ Displaystyle О ( журнал р)}$ фактор, где $п$ - количество узлов с ненулевым весом согласно теореме 3, 4 и 5.

Сбалансированные разрезы и сепараторы

В некоторых приложениях мы хотим найти небольшой разрез на графике ${ Displaystyle G = (V, E)}$ это разбивает граф на части почти одинакового размера. Обычно мы называем разрез b-сбалансированный или $(б,1 - б)$ -разделитель (за $б \leq 1/2$ ) если ${ Displaystyle б пи (V) leq пи (U) leq (1-b) пи (V)}$ куда ${ displaystyle pi (U)}$ это сумма весов узлов в $U$ . Это тоже NP-жесткий проблема. Для этой задачи был разработан приближенный алгоритм,^[1] и основная идея в том, что $грамм$ имеет $б$ сбалансированный крой по размеру $S$ , то находим $б'$ сбалансированный крой по размеру ${ displaystyle O left (S log { frac {n} {b}} - b ' right)}$ для любого $б '$ куда $б' < б$ и $б' \leq 1/3$ . Затем мы повторяем процесс и, наконец, получаем результат, что общий вес кромок в разрезе не превышает ${ displaystyle O left ({ frac {S log n} {b-b '}} right)}$ .

Проблемы компоновки СБИС

При проектировании схемы СБИС полезно найти схему минимального размера. Такую проблему часто можно смоделировать как проблему вложения графа. Задача - найти вложение, для которого минимизирована область макета. Найти минимальную площадь макета тоже непросто. Введен аппроксимационный алгоритм.^[1] и результат ${ Displaystyle О ( журнал ^ {6} п)}$ оптимальные времена.

Проблема индекса пересылки

Учитывая $п$ -узловой график $грамм$ и вложение ${ displaystyle K_ {n}}$ в $грамм$ , Chung et al.^[9]определил индекс пересылки вложения как максимальное количество путей (каждый соответствует ребру ${ displaystyle K_ {n}}$ ), которые проходят через любой узел $грамм$ . Цель состоит в том, чтобы найти вложение, которое минимизирует индекс пересылки. Использование подходов встраивания^[1] можно связать индексы node и edge-forwarding в пределах ${ Displaystyle О ( журнал п)}$ -фактор для каждого графика $грамм$ .

Удаление плоского края

Tragoudas^[10]использует алгоритм приближения для сбалансированных разделителей, чтобы найти набор ${ displaystyle O left ((R log n + { sqrt {nR}}) log { frac {n} {R}} right)}$ ребра, удаление которых из графа ограниченной степени $грамм$ приводит к плоскому графу, где $р$ минимальное количество ребер, которые нужно удалить из $грамм$ прежде, чем он станет плоским. Остается открытым вопрос, есть ли полилог $п$ оптимальный по времени алгоритм аппроксимации для $р$ .^[1]