Проблема Бючиса - Википедия - Büchis problem

Проблема Бючи, также известный как п проблема квадратов, это открытая проблема от теория чисел назван в честь швейцарского математика Юлиус Рихард Бючи. Спрашивает, есть ли положительное целое число M такая, что каждая последовательность M или более целых квадратов, вторая разность которых постоянна и равна 2, обязательно представляет собой последовательность квадратов вида (Икс + я)², я = 1, 2, ..., M, ... для некоторого целого числаИкс. В 1983 г. Дуглас Хенсли заметил, что проблема Бюхи эквивалентна следующему: существует ли положительное целое число M так что для всех целых чисел Икс и а, количество (Икс + п)² + а не может быть квадратом больше, чем M последовательные значенияп, пока неа = 0?

Постановка проблемы Бючи

Проблему Бюхи можно сформулировать следующим образом: существует ли положительное целое число M такая, что система уравнений

${ displaystyle { begin {cases} x_ {2} ^ {2} -2x_ {1} ^ {2} + x_ {0} ^ {2} = 2 x_ {3} ^ {2} -2x_ { 2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = 2 {} quad vdots x_ {M-1} ^ {2} -2x_ {M-2} ^ {2} + x_ {M-3} ^ {2} = 2 end {case}}}$

есть только решения, удовлетворяющие ${ displaystyle x_ {n} ^ {2} = (x_ {0} + n) ^ {2}.}$

Поскольку первое отличие последовательности ${ displaystyle sigma = (x_ {n} ^ {2}) _ {n = 0, dots, M-1}}$ это последовательность ${ Displaystyle Delta ^ {(1)} ( sigma) = (x_ {n + 1} ^ {2} -x_ {n} ^ {2}) _ {n = 0, dots, M-2} }$, второе отличие ${ displaystyle sigma}$ является

${ displaystyle Delta ^ {(2)} ( sigma) = ((x_ {n + 2} ^ {2} -x_ {n + 1} ^ {2}) - (x_ {n + 1} ^ { 2} -x_ {n} ^ {2})) _ {n = 0, dots, M-3} = (x_ {n + 2} ^ {2} -2x_ {n + 1} ^ {2} + x_ {n} ^ {2}) _ {n = 0, dots, M-3}.}$

Следовательно, указанная выше система уравнений эквивалентна одному уравнению

${ Displaystyle Delta ^ {(2)} ( sigma) = (2) _ {п = 0, точки, М-3}}$

где неизвестное - это последовательность ${ displaystyle sigma}$.

Примеры

Обратите внимание, что для любого целого числа Икс у нас есть

${ displaystyle ( star) qquad (x + 2) ^ {2} -2 (x + 1) ^ {2} + x ^ {2} = 2.}$

Следовательно, уравнение ${ displaystyle x_ {2} ^ {2} -2x_ {1} ^ {2} + x_ {0} ^ {2} = 2}$ есть решения, называемые тривиальные последовательности Бюхи длины три, так что ${ displaystyle x_ {2} ^ {2} = (x_ {0} +2) ^ {2}}$ и ${ displaystyle x_ {1} ^ {2} = (x_ {0} +1) ^ {2}}$. Например, последовательности (2, 3, 4) и (2, −3, 4) являются тривиальными последовательностями Бюхи. А нетривиальная последовательность Бюхи длины три задается, например, последовательностью (0, 7, 10), поскольку она удовлетворяет 10² − 2·7² + 0² = 2, а 0², 7² и 10² не являются последовательными квадратами.

Замена Икс к Икс +1 в уравнении ${ Displaystyle ( звезда)}$, мы получаем ${ Displaystyle (х + 3) ^ {2} -2 (х + 2) ^ {2} + (х + 1) ^ {2} = 2}$. Отсюда система уравнений

${ displaystyle { begin {cases} x_ {2} ^ {2} -2x_ {1} ^ {2} + x_ {0} ^ {2} = 2 x_ {3} ^ {2} -2x_ { 2} ^ {2} + x_ {1} ^ {2} = 2 end {case}}}$

имеет тривиальные решения Бюхи длины 4, а именно то, что удовлетворяет ${ displaystyle x_ {n} ^ {2} = (x_ {0} + n) ^ {2}}$ за п = 0, 1, 2, 3. В 1983 г. Д. Хенсли показал, что существует бесконечно много нетривиальных последовательностей Бюхи длины четыре. Неизвестно, существует ли какая-либо нетривиальная последовательность Бюхи длины пять (действительно, Бюхи первоначально задавал вопрос только дляM = 5.).

Оригинальная мотивация

Положительный ответ на проблему Бюхи означал бы, что использование отрицательного ответа на Десятая проблема Гильберта к Юрий Матиясевич, что нет алгоритма решать есть ли система диагонали квадратичные формы с целыми коэффициентами представляет собой целочисленный кортеж. В самом деле, Бючи заметил, что возведение в квадрат, а следовательно, и умножение, было бы экзистенциально определимо в целых числах над первый заказ язык, имеющий два символа константы для 0 и 1, символ функции для суммы и символ отношения п чтобы выразить, что целое число - это квадрат.

Некоторые результаты

Пол Войта в 1999 году доказал, что положительный ответ на проблему Бюхи следует из положительного ответа на слабую версию Гипотеза Бомбьери – Ланга. В той же статье он доказывает, что аналог проблемы Бюхи для поля мероморфных функций над комплексными числами имеет положительный ответ. С тех пор были получены положительные ответы на аналоги проблемы Бюхи в различных других кольцах функций (в случае колец функций добавляется гипотеза, что не все Икс_п постоянны).

Рекомендации

• Войта, Пол (1999), Диагональные квадратичные формы и десятая проблема Гильберта, с. 261–274 в Десятая проблема Гильберта: отношения с арифметикой и алгебраической геометрией (Ghent, 1999), под редакцией J. Denef et al., Contemp. Математика. 270, амер. Математика. Соц., Провиденс, Род-Айленд, 2000.
• Липшиц, Леонард (1990), «Квадратичные формы, проблема пяти квадратов и диофантовы уравнения» в Собрание сочинений Дж. Рихарда Бючи. Отредактировано Saunders Mac Lane и Дирк Зифкес. Спрингер, Нью-Йорк.
• Хенсли, Дуглас (1983), «Последовательности квадратов со второй разностью два и гипотеза Бючи», не опубликовано.