Частотно-временной анализ расширения базиса - Basis expansion time-frequency analysis

Эта статья поднимает множество проблем. Пожалуйста помоги Улучши это или обсудите эти вопросы на страница обсуждения. (Узнайте, как и когда удалить эти сообщения-шаблоны) эта статья может быть сбивает с толку или неясно читателям. В частности, в первом разделе нет контекста и отсутствует контекст. Пожалуйста, помоги нам прояснить статью. Возможно обсуждение этого вопроса на страница обсуждения. (Январь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом. Пожалуйста помоги улучшить статью к обеспечение большего контекста для читателя. (Январь 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения) эта статья является сирота, как никакие другие статьи ссылка на это. Пожалуйста ввести ссылки на эту страницу из Статьи по Теме; попробуйте Инструмент поиска ссылок для предложений. (Февраль 2017 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Линейные разложения по единому базису, будь то Ряд Фурье, вейвлет, или любое другое основание, не подходят. Базис Фурье обеспечивает плохое представление функций, хорошо локализованных во времени, а базисы всплесков не очень хорошо приспособлены для представления функций, чьи Преобразования Фурье имеют узкую высокочастотную опору. В обоих случаях трудно обнаружить и идентифицировать шаблоны сигналов по их коэффициентам расширения, потому что информация разбавлена ​​по всей основе. Следовательно, мы должны использовать большое количество базиса Фурье или вейвлетов для представления всего сигнала с небольшой ошибкой аппроксимации. Немного подходящее преследование В справочных документах предлагаются алгоритмы для минимизации ошибки аппроксимации при заданном количестве базиса.

Характеристики

За Ряд Фурье

${ Displaystyle х (т) приблизительно сумма _ {м = 1} ^ {M} a_ {m} cdot e ^ {j2 pi mt / T}}$

${ displaystyle a_ {m} = int _ {0} ^ {T} x (t) e ^ {- j2 pi mt / T} , mathrm {d} t}$

Немного частотно-временной анализ также пытаются представить сигнал в виде формы ниже

${ Displaystyle х (т) приблизительно сумма _ {м = 1} ^ {M} a_ {m} cdot varphi _ {m} (t)}$

при заданной величине базиса M минимизировать ошибку аппроксимации в среднеквадратическом смысле

${ displaystyle { text {ошибка аппроксимации}} = int _ {- infty} ^ { infty} | x (t) - sum _ {m = 1} ^ {M} a_ {m} cdot varphi _ {m} (t) | ^ {2} , mathrm {d} t}$

Примеры

Трехпараметрические атомы

${ Displaystyle х (т) приблизительно сумма a_ {t_ {0}, f_ {0}, sigma} cdot varphi _ {t_ {0}, f_ {0}, sigma} (t)}$

${ displaystyle varphi _ {t_ {0}, f_ {0}, sigma} (t) = { frac {2 ^ {0.25}} { sigma ^ {0.5}}} e ^ {j2 pi f_ {0} т- пи (т-т_ {0}) ^ {2} / sigma ^ {2}}}$

С ${ displaystyle varphi _ {t_ {0}, f_ {0}, sigma} (t) quad}$ не ортогональны,${ displaystyle quad a_ {t_ {0}, f_ {0}, sigma} quad}$ должен определяться подходящее преследование процесс.

Три параметра:

${ displaystyle t_ {0}}$ контролирует центральное время.

${ displaystyle f_ {0}}$ управляет центральной частотой.

${ displaystyle sigma}$ контролирует коэффициент масштабирования.

Четырехпараметрические атомы (чирплет)

${ Displaystyle х (т) приблизительно сумма a_ {t_ {0}, f_ {0}, sigma, eta} cdot varphi _ {t_ {0}, f_ {0}, sigma, eta } (t)}$

${ displaystyle varphi _ {t_ {0}, f_ {0}, sigma, eta} (t) = { frac {2 ^ {0.25}} { sigma ^ {0.5}}} e ^ {j2 pi (f_ {0} t + eta / 2t ^ {2}) - pi (t-t_ {0}) ^ {2} / sigma ^ {2}}}$

Четыре параметра:

${ displaystyle t_ {0}}$ контролирует центральное время

${ displaystyle f_ {0}}$ контролирует центральную частоту

${ displaystyle sigma}$ контролирует коэффициент масштабирования

${ displaystyle eta}$ контролирует частоту щебета

Кратковременное преобразование Фурье на разной основе

Рекомендации

• С. Г. Маллат и З. Чжан, «Сопоставление занятий с частотно-временными словарями», IEEE Trans. Сигнальный процесс., Т. 41, нет. 12. С. 3397–3415, декабрь 1993 г.
• Бултан А. Четырехпараметрическое атомное разложение чирплетов // IEEE Trans. Сигнальный процесс., Т. 47, нет. 3. С. 731–745, март 1999 г.
• К. Капус и К. Браун. «Кратковременные дробные методы Фурье для частотно-временного представления ЛЧМ-сигналов», J. Acoust. Soc. Являюсь. т. 113, вып. 6, стр. 3253–3263, 2003.
• Цзянь-Цзюн Дин, Заметка о классе по частотно-временному анализу и вейвлет-преобразованию, факультет электротехники, Национальный университет Тайваня (NTU), Тайбэй, Тайвань, 2016 г.