Двоичный код Goppa - Binary Goppa code

В математика и Информатика, то двоичный код Goppa является код исправления ошибок что принадлежит к классу общих Коды гоппы первоначально описанный Валерий Денисович Гоппа, но двоичная структура дает ему несколько математических преимуществ по сравнению с недвоичными вариантами, а также лучше подходит для общего использования в компьютерах и телекоммуникациях. Двоичные коды Гоппы обладают интересными свойствами, подходящими для криптография в Криптосистемы типа Мак-Элиса и аналогичные установки.

Строительство и недвижимость

Двоичный код Гоппы определяется многочлен ${ displaystyle g (x)}$ степени ${ displaystyle t}$ через конечное поле ${ displaystyle GF (2 ^ {m})}$ без кратных нулей и последовательность ${ displaystyle L}$ из ${ displaystyle n}$ отдельные элементы из ${ displaystyle GF (2 ^ {m})}$ которые не являются корнями многочлена:

${ displaystyle forall i, j in {0, ldots, n-1 }: L_ {i} in GF (2 ^ {m}) land (L_ {i} = L_ {j} следует i = j) land g (L_ {i}) neq 0}$

Кодовые слова принадлежат ядру синдромной функции, образуя подпространство ${ Displaystyle {0,1 } ^ {п}}$:

${ displaystyle Gamma (g, L) = left {c in {0,1 } ^ {n} left | sum _ {i = 0} ^ {n-1} { frac { c_ {i}} {x-L_ {i}}} Equiv 0 mod g (x) right. right }}$

Код, определяемый кортежем ${ Displaystyle (г, L)}$ имеет минимальное расстояние ${ displaystyle 2t + 1}$, поэтому он может исправить ${ displaystyle left lfloor { frac {(2t + 1) -1} {2}} right rfloor}$ ошибки в слове размера ${ displaystyle n-mt}$ с использованием кодовых слов размера ${ displaystyle n}$. Он также обладает удобным матрица проверки на четность ${ displaystyle H}$ сообщить

${ displaystyle H = VD = { begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 & cdots & 1 L_ {0} ^ {1} & L_ {1} ^ {1} & L_ {2} ^ {1} & cdots & L_ {n- 1} ^ {1} L_ {0} ^ {2} & L_ {1} ^ {2} & L_ {2} ^ {2} & cdots & L_ {n-1} ^ {2} vdots & vdots & vdots & ddots & vdots L_ {0} ^ {t-1} & L_ {1} ^ {t-1} & L_ {2} ^ {t-1} & cdots & L_ {n- 1} ^ {t-1} end {pmatrix}} { begin {pmatrix} { frac {1} {g (L_ {0})}} &&&& & { frac {1} {g (L_ {1})}} &&& && { frac {1} {g (L_ {2})}} && &&& ddots & &&&& { frac {1} {g (L_ {n-1 })}} end {pmatrix}}}$

Обратите внимание, что эта форма матрицы проверки на четность, состоящая из Матрица Вандермонда ${ displaystyle V}$ и диагональная матрица ${ displaystyle D}$, разделяет форму с контрольными матрицами альтернативные коды, поэтому в этой форме можно использовать альтернативные декодеры. Такие декодеры обычно предоставляют лишь ограниченную возможность исправления ошибок (в большинстве случаев ${ displaystyle t / 2}$).

Для практических целей матрица проверки четности двоичного кода Гоппа обычно преобразуется в более удобную для компьютера двоичную форму с помощью построения трассировки, которая преобразует ${ displaystyle t}$-от-${ displaystyle n}$ матрица над ${ displaystyle GF (2 ^ {m})}$ к ${ displaystyle mt}$-от-${ displaystyle n}$ двоичной матрицы путем записи полиномиальных коэффициентов ${ displaystyle GF (2 ^ {m})}$ элементы на ${ displaystyle m}$ последовательные ряды.

Расшифровка

Декодирование двоичных кодов Гоппы традиционно выполняется алгоритмом Паттерсона, который дает хорошие возможности исправления ошибок (исправляет все ${ displaystyle t}$ ошибки проектирования), а также довольно прост в реализации.

Алгоритм Паттерсона преобразует синдром в вектор ошибок. Синдром двоичного слова ${ displaystyle c = (c_ {0}, dots, c_ {n-1})}$ как ожидается, примет форму

${ Displaystyle s (x) Equiv sum _ {я = 0} ^ {n-1} { frac {c_ {i}} {x-L_ {i}}} mod g (x)}$

Альтернативная форма матрицы проверки на четность, основанная на формуле для ${ displaystyle s (x)}$ может быть использован для создания такого синдрома с помощью простого матричного умножения.

Затем алгоритм вычисляет ${ Displaystyle v (x) Equiv { sqrt {s (x) ^ {- 1} -x}} mod g (x)}$. Это не удается, когда ${ Displaystyle s (х) эквив 0}$, но это тот случай, когда входное слово является кодовым словом, поэтому исправление ошибок не требуется.

${ Displaystyle v (х)}$ сводится к полиномам ${ Displaystyle а (х)}$ и ${ displaystyle b (x)}$ с использованием расширенный алгоритм евклида, так что ${ Displaystyle а (х) эквив б (х) CDOT v (х) модуль г (х)}$, в то время как ${ Displaystyle град (а) leq lfloor т / 2 rfloor}$ и ${ Displaystyle град (Ь) leq lfloor (т-1) / 2 rfloor}$.

Наконец, многочлен локатора ошибок вычисляется как ${ displaystyle sigma (x) = a (x) ^ {2} + x cdot b (x) ^ {2}}$. Обратите внимание, что в двоичном случае поиска ошибок достаточно, чтобы исправить их, поскольку возможно только одно другое значение. В недвоичных случаях также должен быть вычислен отдельный полином исправления ошибок.

Если исходное кодовое слово было декодируемым и ${ displaystyle e = (e_ {0}, e_ {1}, dots, e_ {n-1})}$ был вектор двоичной ошибки, то

${ displaystyle sigma (x) = prod _ {i = 0} ^ {n-1} e_ {i} (x-L_ {i})}$

Факторинг или оценка всех корней ${ Displaystyle sigma (х)}$ поэтому дает достаточно информации для восстановления вектора ошибок и исправления ошибок.

Свойства и использование

Двоичные коды Гоппа, рассматриваемые как частный случай кодов Гоппа, обладают тем интересным свойством, что они полностью исправляют ${ Displaystyle deg (г)}$ ошибки, пока только ${ Displaystyle deg (г) / 2}$ ошибки в троичном и всех остальных случаях. Асимптотически эта возможность исправления ошибок соответствует знаменитому Граница Гилберта – Варшамова.

Из-за высокой способности исправлять ошибки по сравнению с кодовой скоростью и формой матрицы проверки на четность (которая обычно трудно отличить от случайной двоичной матрицы полного ранга), двоичные коды Гоппа используются в нескольких постквантовый криптосистемы, особенно Криптосистема Мак-Элиса и Криптосистема Нидеррайтера.

использованная литература

• Элвин Р. Берлекамп, Коды Гоппы, IEEE Transactions по теории информации, Vol. ИТ-19, № 5, сентябрь 1973 г., https://web.archive.org/web/20170829142555/http://infosec.seu.edu.cn/space/kangwei/senior_thesis/Goppa.pdf
• Даниэла Энгельберт, Рафаэль Овербек, Артур Шмидт. «Краткое изложение криптосистем типа Мак-Элиса и их безопасности». Журнал математической криптологии 1, 151–199. Г-Н2345114. Предыдущая версия: http://eprint.iacr.org/2006/162/
• Дэниел Дж. Бернштейн. «Перечислить расшифровку двоичных кодов Гоппы». http://cr.yp.to/codes/goppalist-20110303.pdf

Смотрите также

• Коды BCH
• Скорость кода
• Исправление ошибок Рида – Соломона