Закон Блюменталя о нулевом значении - Википедия - Blumenthals zero–one law

В математической теории вероятностей Блюменталя закон нуля или единицы,^[1] названный в честь Роберт МакКаллум Блюменталь, это утверждение о природе начала справа непрерывный Валочный процесс. В общих чертах в нем говорится, что любой справа непрерывный Валочный процесс на ${ displaystyle [0, infty)}$ начиная с детерминированной точки имеет также детерминированное начальное движение.

Заявление

Предположим, что ${ displaystyle X = (X_ {t}: t geq 0)}$ адаптированный справа непрерывный Валочный процесс на вероятностное пространство ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, {{ mathcal {F}} _ {t} } _ {t geq 0}, mathbb {P})}$ такой, что ${ displaystyle X_ {0}}$ постоянна с вероятностью единица. Позволять ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {t} ^ {X}: = sigma (X_ {s}; s leq t), { mathcal {F}} _ {t ^ {+}} ^ {X}: = bigcap _ {s> t} { mathcal {F}} _ {s} ^ {X}}$. Тогда любое событие в зародыш сигма-алгебра ${ displaystyle Lambda in { mathcal {F}} _ {0 +} ^ {X}}$ имеет либо ${ Displaystyle mathbb {P} ( Lambda) = 0}$ или же ${ Displaystyle mathbb {P} ( Lambda) = 1.}$

Обобщение

Предположим, что ${ displaystyle X = (X_ {t}: t geq 0)}$ адаптированный случайный процесс на вероятностное пространство ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, {{ mathcal {F}} _ {t} } _ {t geq 0}, mathbb {P})}$ такой, что ${ displaystyle X_ {0}}$ постоянна с вероятностью единица. Если ${ displaystyle X}$ имеет Марковская собственность относительно фильтрации ${ Displaystyle {{ mathcal {F}} _ {т ^ {+}} } _ {т geq 0}}$ тогда любое событие ${ displaystyle Lambda in { mathcal {F}} _ {0 +} ^ {X}}$ имеет либо ${ Displaystyle mathbb {P} ( Lambda) = 0}$ или же ${ Displaystyle mathbb {P} ( Lambda) = 1.}$ Обратите внимание, что каждый справа непрерывный Валочный процесс на вероятностное пространство ${ displaystyle ( Omega, { mathcal {F}}, {{ mathcal {F}} _ {t} } _ {t geq 0}, mathbb {P})}$ имеет сильное марковское свойство относительно фильтрации ${ Displaystyle {{ mathcal {F}} _ {т ^ {+}} } _ {т geq 0}}$.

Рекомендации