Емкостное минимальное остовное дерево - Capacitated minimum spanning tree

Емкостное минимальное остовное дерево это минимальная стоимость остовное дерево из график который имеет назначенный корневой узел ${displaystyle r}$ и удовлетворяет ограничению мощности ${displaystyle c}$. Ограничение емкости гарантирует, что все поддеревья (максимальные подграфы, соединенные с корнем одним ребром) инцидентны корневому узлу. ${displaystyle r}$ иметь не более чем ${displaystyle c}$ узлы. Если узлы дерева имеют веса, то ограничение пропускной способности можно интерпретировать следующим образом: сумма весов в любом поддереве не должна быть больше, чем ${displaystyle c}$. Ребра, соединяющие подграфы с корневым узлом, называются ворота. Поиск оптимального решение NP-сложно.^[1]

Алгоритмы

Предположим, у нас есть граф ${displaystyle G = (V, E)}$, ${displaystyle n = | G |}$ с корнем ${displaystyle rin G}$. Позволять ${displaystyle a_ {i}}$ быть всеми остальными узлами в ${displaystyle G}$. Позволять ${displaystyle c_ {ij}}$ быть краевой ценой между вершины ${displaystyle a_ {i}}$ и ${displaystyle a_ {j}}$ которые образуют матрицу затрат ${displaystyle C = {c_ {ij}}}$.

Эвристика Исава-Вильямса^[2]

Эвристика Эсау-Вильямса находит неоптимальные CMST, которые очень близки к точным решениям, но в среднем EW дает лучшие результаты, чем многие другие эвристики.

Изначально все узлы подключены к корень ${displaystyle r}$ (звездчатый график), а стоимость сети равна ${displaystyle displaystyle sum _ {i = 0} ^ {n} c_ {ri}}$; каждое из этих ребер - ворота. На каждой итерации ищем ближайшего соседа ${displaystyle a_ {j}}$ для каждого узла в ${displaystyle G- {r}}$ и оцените функцию компромисса: ${displaystyle t (a_ {i}) = g_ {i} -c_ {ij}}$. Мы ищем величайшего ${displaystyle t (a_ {i})}$ среди положительных компромиссов и, если результирующее поддерево не нарушает ограничений емкости, удалите вентиль ${displaystyle g_ {i}}$ подключение ${displaystyle i}$-е поддерево к ${displaystyle a_ {j}}$ по краю ${displaystyle c_ {ij}}$. Мы повторяем итерации до тех пор, пока не сможем вносить какие-либо дальнейшие улучшения в дерево.

Эвристика Эсау-Вильямса для вычисления неоптимального CMST:

функция CMST (c,C,р):    Т = {${displaystyle c_ {1r}}$, ${displaystyle c_ {2r}}$, ..., ${displaystyle c_ {nr}}$}    пока есть изменения: для каждого узел ${displaystyle a_ {i}}$            ${displaystyle a_ {j}}$ = ближайший узел в другом поддереве ${displaystyle t (a_ {i})}$ = ${displaystyle g_ {i}}$ - ${displaystyle c_ {ij}}$        t_max = Максимум(${displaystyle t (a_ {i})}$)        k = я такой, что ${displaystyle t (a_ {i})}$ = t_max если ( Стоимость(я) + Стоимость(j) <= c)            Т = Т - ${displaystyle g_ {k}}$            Т = Т союз ${displaystyle c_ {kj}}$    возвращаться Т

Легко видеть, что EW находит решение за полиномиальное время.

Эвристика Шармы

Эвристика Шармы.^[3]

Приложения

Проблема CMST важна при проектировании сети: когда много терминалов компьютеры должны быть подключены к центральному концентратору, конфигурация звезды обычно не является минимальной стоимостью. Поиск CMST, который объединяет терминалы в подсети, может снизить стоимость внедрения сети.

Рекомендации