Уравнение кабестана - Википедия - Capstan equation

Пример того, когда можно было бы использовать знание уравнения для кабестана. В изогнутой белой трубке есть шнур для подъема и опускания занавески. Трубка изогнута на 40 градусов в двух местах. Синяя линия указывает на более эффективный дизайн.

Пример удерживания кабестана и механического шпиля, используемых для поднятия парусов на высоком корабле.

В уравнение кабестана или же уравнение трения ремня, также известный как Формула Эйтельвейна (после Иоганн Альберт Эйтельвайн ),^[1]^[2] связывает удерживающую силу с силой нагрузки, если гибкая линия наматывается на цилиндр ( столбик, а лебедка или шпиль ).^[3]^[2]

Из-за взаимодействия сил трения и натяжения натяжение троса, намотанного вокруг шпиля, может быть разным с обеих сторон шпиля. Маленький держа сила, приложенная к одной стороне, может нести гораздо большие загрузка сила с другой стороны; Это принцип работы устройства кабельного типа.

Удерживающий шпиль - это храповое устройство, которое может вращаться только в одном направлении; как только груз помещается на место в этом направлении, его можно удерживать с гораздо меньшей силой. Приводной шпень, также называемый лебедкой, вращается так, что приложенное натяжение умножается на трение между канатом и шпилем. На высокий корабль удерживающий шпиль и приводной шпиль используются в тандеме, так что небольшое усилие можно использовать для подъема тяжелого паруса, а затем веревку можно легко снять с механического шпиля и привязать.

В альпинизм с так называемым топор, более легкий человек может удерживать (страховать) более тяжелый за счет этого эффекта.

Формула

{ displaystyle T _ { text {load}} = T _ { text {hold}} e ^ { mu phi} ~,}

куда ${ displaystyle T _ { text {load}}}$ приложенное натяжение на линии, ${ displaystyle T _ { text {hold}}}$ результирующая сила, действующая на другую сторону шпиля, ${ displaystyle mu}$ это коэффициент трения между материалами каната и шпиля, и ${ displaystyle phi}$ - общий угол, который проходит через все витки каната, измеряется в радианах (т. е. за один полный оборот угол ${ Displaystyle фи = 2 пи ,}$ ).

Чтобы формула действовала, должны выполняться несколько предположений:

Трос находится на грани полного скольжения, т.е. ${ displaystyle T _ { text {load}}}$ это максимальная нагрузка, которую можно удержать. Могут удерживаться и меньшие грузы, что приводит к меньшему эффективный угол контакта ${ displaystyle phi}$ .
Важно, чтобы леска была не жесткой, в этом случае значительная сила будет потеряна при изгибе лески плотно вокруг цилиндра. (В этом случае уравнение необходимо изменить.) Например, Боуденовский трос в какой-то степени жесткая и не подчиняется принципам уравнения шпиля.
Линия не-эластичный.

Можно заметить, что прирост силы увеличивается экспоненциально с коэффициентом трения, количеством витков вокруг цилиндра и углом контакта. Обратите внимание, что радиус цилиндра не влияет на усиление.

В таблице ниже приведены значения коэффициента ${ Displaystyle е ^ { му phi} ,}$ по количеству витков и коэффициенту трения μ.

Число поворотов	Коэффициент трения μ
Число поворотов	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7
1	1.9	3.5	6.6	12	23	43	81
2	3.5	12	43	152	535	1881	6661
3	6.6	43	286	1881	12392	81612	437503
4	12	152	1881	23228	286751	3540026	43702631
5	23	535	12392	286751	6635624	153552935	3553321281

Из таблицы видно, почему редко можно увидеть простынь (веревка на свободную сторону паруса) намотала на лебедку более трех витков. Прирост силы был бы экстремальным, но не только контрпродуктивным, поскольку существует риск верховая езда, в результате лист засорится, образует узел и не закончится, когда ослаблен (ослабив хватку хвост (свободный конец)).

Как древняя, так и современная практика, когда якорные кабестаны и лебедки гуська слегка расширяются в основании, а не имеют цилиндрическую форму, чтобы не допустить, чтобы трос (якорная основа или парусина) от скольжения вниз. Канат, намотанный на лебедку несколько раз, может постепенно соскользнуть вверх с небольшим риском поворота при движении, при условии, что хвостатый (свободный конец выдернут), вручную или самозаводчиком.

Например, коэффициент «153,552,935» (5 оборотов вокруг шпиля с коэффициентом трения 0,6) теоретически означает, что новорожденный ребенок сможет удерживать (не двигаться) вес двух человек. USSНимиц суперперевозчики (по 97000 тонн, а для малышки всего чуть больше 1 кг).^{[нужна цитата ]} Большое количество поворотов вокруг шпиля в сочетании с таким высоким коэффициентом трения означает, что для удержания такого тяжелого груза на месте требуется очень небольшое дополнительное усилие. Кабели, необходимые для поддержки этого веса, а также способность шпиля выдерживать силу сжатия этих кабелей, являются отдельными соображениями.

Обобщение уравнения шпиля для клинового ремня.

Уравнение трения ремня для клиновой ремень является:

{ displaystyle T _ { text {load}} = T _ { text {hold}} {e} ^ { mu phi / sin ( alpha / 2)}}

куда ${ displaystyle alpha}$ угол (в радианах) между двумя плоскими сторонами шкива, на которые прижимается клиновой ремень.^[4] Плоский ремень имеет эффективный угол ${ Displaystyle альфа = пи}$ .

Материал Клиновой ремень или мульти-V змеиный пояс имеет тенденцию заклиниваться в сопрягаемую канавку шкива при увеличении нагрузки, улучшая передачу крутящего момента.^[5]

Для такой же передачи мощности клиновой ремень требует меньшего натяжения, чем плоский ремень, что увеличивает срок службы подшипника.^[4]

Обобщение уравнения шпиля для каната, лежащего на произвольной ортотропной поверхности

Если канат находится в равновесии под действием касательных сил на шероховатом ортотропный поверхность, то выполняются все три следующих условия:

Без разделения - нормальная реакция ${ displaystyle N}$ положительна для всех точек кривой веревки:
${ displaystyle N = -k_ {n} T> 0}$ , куда ${ displaystyle k_ {n}}$ - нормальная кривизна кривой веревки.
Коэффициент сопротивления трения ${ displaystyle mu _ {g}}$ и угол ${ displaystyle alpha}$ удовлетворяют следующим критериям для всех точек кривой
${ displaystyle - mu _ {g} < tan alpha <+ mu _ {g}}$
Предельные значения касательных сил:
Силы на обоих концах веревки ${ displaystyle T}$ и ${ displaystyle T_ {0}}$ удовлетворяют следующему неравенству
${ displaystyle T_ {0} e ^ {- int _ {s} omega ds} leq T leq T_ {0} e ^ { int _ {s} omega ds}}$
с ${ displaystyle omega = mu _ { tau} { sqrt {k_ {n} ^ {2} - { frac {k_ {g} ^ {2}} { mu _ {g} ^ {2} }}}} = mu _ { tau} k { sqrt { cos ^ {2} alpha - { frac { sin ^ {2} alpha} { mu _ {g} ^ {2} }}}},}$
куда ${ displaystyle k_ {g}}$ это геодезическая кривизна изгиба каната, ${ displaystyle k}$ кривизна изгиба каната, ${ displaystyle mu _ { tau}}$ - коэффициент трения в тангенциальном направлении.
Если ${ displaystyle omega = const}$ тогда ${ displaystyle T_ {0} e ^ {- mu _ { tau} ks , { sqrt { cos ^ {2} alpha - { frac { sin ^ {2} alpha} { mu _ {g} ^ {2}}}}}} leq T leq T_ {0} e ^ { mu _ { tau} ks , { sqrt { cos ^ {2} alpha - { frac { sin ^ {2} alpha} { mu _ {g} ^ {2}}}}}}.}$