Постоянная Картера - Carter constant

В Постоянная Картера это сохраненное количество для движения вокруг черные дыры в общерелятивистский формулировка силы тяжести. Постоянная Картера была получена для вращающейся заряженной черной дыры Австралийский физик-теоретик Брэндон Картер в 1968 г. постоянная Картера вместе с энергия, осевой угловой момент, и частица масса покоя предоставить четыре сохраняющиеся величины, необходимые для однозначного определения всех орбит в Керр – Ньюман пространство-время (даже заряженных частиц).

Формулировка

Картер заметил, что гамильтониан движения в пространстве-времени Керра разделим в Координаты Бойера – Линдквиста, позволяя легко идентифицировать константы такого движения с помощью Теория Гамильтона-Якоби.^[1] Константу Картера можно записать следующим образом:

${displaystyle C = p_ {heta} ^ {2} + cos ^ {2} heta {Bigg (} a ^ {2} (m ^ {2} -E ^ {2}) + left ({frac {L_ {z }} {sin heta}} ight) ^ {2} {Bigg)}}$,

куда ${displaystyle p_ {heta}}$ - широтная составляющая углового момента частицы, ${displaystyle E}$ - энергия частицы, ${displaystyle L_ {z}}$ - осевой угловой момент частицы, ${displaystyle m}$ - масса покоя частицы, а ${displaystyle a}$ - параметр вращения черной дыры.^[2] Поскольку функции сохраняющихся величин также сохраняются, любая функция от ${displaystyle C}$ а три другие константы движения можно использовать как четвертую постоянную вместо ${displaystyle C}$. Это приводит к некоторой путанице в отношении формы постоянной Картера. Например, иногда удобнее использовать:

${displaystyle K = C + (L_ {z} -aE) ^ {2}}$

на месте ${displaystyle C}$. Количество ${displaystyle K}$ полезно, потому что оно всегда неотрицательно. В общем, любая четвертая сохраняющаяся величина для движения в Керр семейство пространств-времени можно назвать «постоянной Картера».

Генерируется тензором Киллинга

Теорема Нётер утверждает, что все сохраняющиеся величины связаны с симметрии пространства-времени. Константа Картера связана с симметрией более высокого порядка метрики Керра, порожденной вторым порядком Убивающее тензорное поле ${displaystyle K}$ (разные ${displaystyle K}$ чем использовалось выше). В компонентной форме:

${displaystyle C = K ^ {mu u} u_ {mu} u_ {u}}$,

куда ${displaystyle u}$ это четырехскоростной частицы в движении. Компоненты тензора Киллинга в Координаты Бойера – Линдквиста находятся:

${displaystyle K ^ {mu u} = 2Sigma l ^ {(mu} n ^ {u)} + r ^ {2} g ^ {mu u}}$,

куда ${displaystyle g ^ {mu u}}$ компоненты метрического тензора и ${displaystyle l ^ {mu}}$ и ${displaystyle n ^ {u}}$ компоненты главных нулевых векторов:

${displaystyle l ^ {mu} = left ({frac {r ^ {2} + a ^ {2}} {Delta}}, 1,0, {frac {a} {Delta}} ight)}$

${displaystyle n ^ {u} = left ({frac {r ^ {2} + a ^ {2}} {2Sigma}}, - {frac {Delta} {2Sigma}}, 0, {frac {a} {2Sigma}) }} ight)}$

с

${displaystyle Sigma = r ^ {2} + a ^ {2} cos ^ {2} heta, Delta = r ^ {2} -r_ {s} r + a ^ {2}}$.

Предел Шварцшильда

Сферическая симметрия Метрика Шварцшильда для невращающихся черных дыр позволяет свести задачу нахождения траекторий частиц к трехмерным. В этом случае достаточно ${displaystyle E}$, ${displaystyle L_ {z}}$, и ${displaystyle m}$ определять движение; однако симметрия, приводящая к постоянной Картера, все еще существует. Постоянная Картера для пространства Шварцшильда:

${displaystyle C = p_ {heta} ^ {2} + left ({frac {L_ {z}} {sin heta}} ight) ^ {2}}$.

Вращением координат мы можем поместить любую орбиту в ${displaystyle heta = pi / 2}$ самолет так ${displaystyle p_ {heta} = 0}$. В таком случае ${displaystyle C = L_ {z} ^ {2}}$, квадрат орбитального углового момента.

Смотрите также

• Метрика Керра
• Метрика Керра – Ньюмана
• Координаты Бойера – Линдквиста
• Уравнение Гамильтона – Якоби
• Проблема трех тел Эйлера

Рекомендации