Цеюань хайцзин - Википедия - Ceyuan haijing

Фигура мастера в Морское зеркало круговых измерений, что все проблемы используют. На нем изображен круглый город, вписанный в прямоугольный треугольник и квадрат.

Сеюань Хайцзин (упрощенный китайский : 测 圆 海 镜; традиционный китайский : 測 圓 海 鏡; пиньинь : cè yuán hǎi jìng; горит `` морское зеркало круговых измерений '') - трактат о решении геометрических задач с помощью алгебры Тянь Юань Шу написано математиком Ли Чжи в 1248 году во времена Монгольская империя. Это набор из 692 формул и 170 задач, созданных на основе одной и той же главной диаграммы круглого города, вписанного в прямоугольный треугольник и квадрат. Часто в них участвуют два человека, которые идут по прямой, пока не увидят друг друга, не встретятся или не достигнут дерева или пагоды в определенном месте. Это книга по алгебраической геометрии, цель которой - изучение сложных геометрических соотношений с помощью алгебры.

Большинство задач геометрии решаются полиномиальными уравнениями, которые представляются с помощью метода, называемого Тянь Юань Шу, «метод массива коэффициентов» или буквально «метод небесной неизвестности». Ли Чжи - самый ранний из сохранившихся источников этого метода, хотя в той или иной форме он был известен до него. Это позиционная система стержневые цифры представлять полиномиальные уравнения.

Сеюань Хайцзин был впервые представлен на западе британским протестантским христианским миссионером в Китае, Александр Вайли в его книге Заметки о китайской литературе, 1902 г. Он писал:

На первой странице изображен круг, заключенный в треугольник, разделенный на 15 фигур; затем даются определение и соотношения нескольких частей, а за ними следуют 170 задач, в которых принцип новой науки рассматривается как преимущество. На всем протяжении автора есть экспозиция и схолия.^[1]

Этот трактат состоит из 12 томов.

Том 1

Реконструированная схема кругового города в алфавитах

Схема круглого города

Монография начинается с основной диаграммы, которая называется Диаграмма Круглого города (圆 城 图 式). Он показывает круг, вписанный в прямоугольный треугольник, и четыре горизонтальные линии, четыре вертикальные линии.

• TLQ, большой прямоугольный треугольник с горизонтальной линией LQ, вертикальной линией TQ и гипотенузой TL

C: Центр круга:

• NCS: Вертикальная линия, проходящая через C, пересекает круг и линию LQ в точке N (南 северной стороны городской стены), пересекает южную сторону круга в точке S ().
• NCSR, продолжение линии NCS до пересечения гипотенузы TL в точке R (日)
• WCE: горизонтальная линия, проходящая через центр C, пересекает круг и линию TQ в точке W (, западная сторона городской стены) и окружность в точке E (, восточная сторона городской стены).
• WCEB: продолжение прямой WCE до пересечения гипотенузы в точке B (川)
• KSYV: горизонтальная касательная в точке S, пересекает прямую TQ в точке K (坤), гипотенузу TL в точке Y (月).
• HEMV: вертикальная касательная к окружности в точке E, пересекает прямую LQ в точке H, гипотенуза в точке M (山, гора)
• HSYY, KSYV, HNQ, QSK образуют квадрат с вписанным кругом C.
• Линия YS, вертикальная линия от Y пересекает линию LQ в точке S (泉, пружина)
• Линия BJ, вертикальная линия из точки B, пересекает линию LQ в точке J (夕, ночь)
• RD, горизонтальная линия от R, пересекает линию TQ в точке D (旦, день)

Направления на север, юг, восток и запад на диаграмме Ли Чжи противоположны нашему нынешнему соглашению.

Треугольники и их стороны

Всего имеется пятнадцать прямоугольных треугольников, образованных пересечением между треугольником TLQ, четырьмя горизонтальными линиями и четырьмя вертикальными линиями.

Названия этих прямоугольных треугольников и их стороны приведены в следующей таблице.

Число	Имя	Вершины	Гипотенуза0c	Вертикальный0б	По горизонтали0а
1	通 ТОНГ	天地 乾 ${ Displaystyle треугольник TLQ}$	通 弦 （TL 天地）	通 股 （TQ 天乾）	通 勾 （LQ 地 乾）
2	边 БИАН	天 西川 ${ Displaystyle треугольник TWB}$	边 弦 （TB 天 川）	边 股 （TW 天 西）	边 勾 （WB 西川）
3	底 DI	日 地 北 ${ Displaystyle треугольник RDN}$	底 弦 （RL 日 地）	底 股 （RN 日 北）	底 勾 （LB 地 北）
4	黄 广 ХУАНГУАН	天山 金 ${ Displaystyle треугольник ВНЧС}$	黄 广 弦 （TM 天山）	黄 广 股 （TJ 天 金）	黄 广 勾 （MJ 山金）
5	黄 长 ХУАНЧАНГ	月 地 泉 ${ Displaystyle треугольник YLS}$	黄 长 弦 （YL 月 地）	黄 长 股 （YS 月 泉）	黄 长 勾 （LS 地 泉）
6	上 高 ШАНГАО	天日 旦 ${ Displaystyle треугольник TRD}$	上 高 弦 （TR 天日）	上 高 股 （TD 天 旦）	上 高 勾 （RD 日 旦）
7	下 高 XIAGAO	日 山 朱 ${ Displaystyle треугольник RMZ}$	下 高 弦 （RM 日 山）	下 高 股 （RZ 日 朱）	下 高 勾 （MZ 山 朱）
8	上 平 ПЕРЕВОД	月 川 青 ${ Displaystyle треугольник YSG}$	上 平 弦 （YS 月 川）	上 平 股 （YG 月 青）	上 平 勾 （SG 川 青）
9	下 平 СЯПИН	川 地 夕 ${ Displaystyle треугольник BLJ}$	下 平 弦 （BL 川 地）	下 平 股 （BJ 川 夕）	下 平 勾 （LJ 地 夕）
10	大 差 DACHA	天 月 坤 ${ Displaystyle треугольник TYK}$	大 差 弦 （TY 天 月）	大 差 股 （TK 天 坤）	大 差 勾 （YK 月 坤）
11	小 差 XIAOCHA	山地 艮 ${ Displaystyle треугольник MLH}$	小 差 弦 （ML 山地）	小 差 股 （MH 山 艮）	小 差 勾 （LH 地 艮）
12	皇 极 ХУАНДЖИ	日 川 心 ${ Displaystyle треугольник RSC}$	皇 极 弦 （RS 日 川）	皇 极 股 （RC 日 心）	皇 极 勾 （SC 川 心）
13	太虚 TAIXU	月 山 泛 ${ Displaystyle треугольник YMF}$	太虚 弦 （YM 月 山）	太虚 股 （YF 月 泛）	太虚 勾 （MF 山 泛）
14	明 МИН	日月 南 ${ Displaystyle треугольник RYS}$	明 弦 （RY 日月）	明 股 （RS 日南）	明 勾 （YS 月 南）
15	叀 Чжуань	山川 东 ${ Displaystyle треугольник MSE}$	叀 弦 （MS 山川）	叀 股 （ME 山东）	叀 勾 （SE 川东）

В задачах от тома 2 до тома 12 названия этих треугольников используются очень кратко. Например

«明 差», «разница MING» означает «разницу между вертикальной и горизонтальной сторонами треугольника MING.

«叀 差», «разница ZHUANG» означает «разницу между вертикальной и горизонтальной сторонами треугольника ZHUANG».

«明 差 叀 差 并» означает «сумма разницы MING и разницы ZHUAN».${ displaystyle (b_ {14} -a_ {14}) + (b_ {15} -a_ {15})}$

Длина отрезков линии

В этом разделе (今 问 正 数) перечислены длины отрезков, сумма и разность, а также их комбинации на диаграмме круглого города, учитывая, что радиус r вписанной окружности равен ${ displaystyle r = 120}$ шаги ${ displaystyle a_ {1} = 320}$,${ displaystyle b_ {1} = 640}$.

13 сегментов i-го треугольника (i = от 1 до 15):

1. Гипотенеза ${ displaystyle c_ {i}}$
2. По горизонтали ${ displaystyle a_ {i}}$
3. Вертикальный ${ displaystyle b_ {i}}$
4. : 勾股 和: сумма горизонтального и вертикального ${ displaystyle a_ {i} + b_ {i}}$
5. : 勾股 校: разница вертикального и горизонтального ${ displaystyle b_ {i} -a_ {i}}$
6. : 勾 弦 和: сумма горизонтали и гипотенузы ${ displaystyle a_ {i} + c_ {i}}$
7. : 勾 弦 校: разница гипотенузы и горизонтали ${ displaystyle c_ {i} -a_ {i}}$
8. : 股 弦 和: сумма гипотенузы и вертикали ${ displaystyle b_ {i} + c_ {i}}$
9. : 股 弦 校: разница гипотенузы и вертикали ${ displaystyle c_ {i} -b_ {i}}$
10. : 弦 校 和: сумма разности и гипотенузы ${ displaystyle c_ {i} + (b_ {i} -a_ {i})}$
11. : 弦 校 校: разность гипотенузы и разность ${ displaystyle c_ {i} - (b_ {i} -a_ {i})}$
12. : 弦 和 和: суммировать гипотенузу и сумму вертикального и горизонтального ${ displaystyle a_ {i} + b_ {i} + c_ {i}}$
13. : 弦 和 校: разница суммы горизонтали и вертикали с гипотенузой ${ displaystyle a_ {i} + b_ {i}}$

Среди пятнадцати прямоугольных треугольников есть два набора идентичных треугольников:

${ Displaystyle треугольник TRD}$=${ Displaystyle треугольник RMZ}$,

${ Displaystyle треугольник YSG}$=${ Displaystyle треугольник BLJ}$

то есть

${ displaystyle a_ {6} = a_ {7}}$;

${ displaystyle b_ {6} = b_ {7}}$;

${ displaystyle c_ {6} = c_ {7}}$;

${ displaystyle a_ {8} = a_ {9}}$;

${ displaystyle b_ {8} = b_ {9}}$;

${ displaystyle c_ {8} = c_ {9}}$;

Номера сегментов

Всего 15 x 13 = 195 терминов, их значения показаны в таблице 1:^[2]

Таблица сегментов 1

Определения и формула

Разная формула

^[3]

1. ${ displaystyle (c_ {1} -a_ {1}) * (c_ {1} * b_ {1})}$= ${ displaystyle 1 over 2}$*${ displaystyle (d_ {1}) ^ {2}}$
2. ${ displaystyle a_ {10} * b_ {11}}$= ${ displaystyle 1 over 2}$${ displaystyle (d_ {1}) ^ {2}}$
3. ${ displaystyle a_ {13} * b_ {1}}$= ${ displaystyle 1 over 2}$${ displaystyle (d_ {1}) ^ {2}}$
4. ${ displaystyle a_ {1} * b_ {13}}$= ${ displaystyle 1 over 2}$${ displaystyle (d_ {1}) ^ {2}}$
5. ${ displaystyle b_ {2} * b_ {15}}$= ${ Displaystyle (г_ {1}) ^ {2}}$
6. ${ displaystyle a_ {14} * a_ {3}}$= ${ Displaystyle (г_ {1}) ^ {2}}$
7. ${ displaystyle a_ {5} * b_ {4}}$= ${ displaystyle (d_ {1}) ^ {2}}$
8. ${ displaystyle a_ {8} * b_ {6}}$= ${ displaystyle a_ {9} * b_ {7}}$${ displaystyle = (r_ {1}) ^ {2}}$
9. ${ displaystyle (b_ {14} * c_ {14}) * (a_ {15} + c_ {15})}$= ${ Displaystyle (г_ {1}) ^ {2}}$
10. ${ displaystyle c_ {6} * c_ {8}}$= ${ displaystyle c_ {7} * c_ {9})}$=${ displaystyle a_ {13} * b_ {13}}$

Пять сумм и пять отличий

1. ${ displaystyle a_ {2} + b_ {2} + c_ {2} = b_ {1} + c_ {1}}$^[4]
2. ${ displaystyle a_ {3} + b_ {3} + c_ {3} = a_ {1} + c_ {1}}$
3. ${ displaystyle a_ {4} + b_ {4} + c_ {4} = 2b_ {1}}$
4. ${ displaystyle a_ {5} + b_ {5} + c_ {5} = 2a_ {1}}$
5. ${ displaystyle a_ {6} + b_ {6} + c_ {6} = b_ {1}}$
6. ${ displaystyle a_ {7} + b_ {7} + c_ {7} = b_ {1}}$
7. ${ displaystyle a_ {8} + b_ {8} + c_ {8} = a_ {1}}$
8. ${ displaystyle a_ {9} + b_ {9} + c_ {9} = a_ {1}}$
9. ${ displaystyle a_ {10} + b_ {10} + c_ {10} = b_ {1} + c_ {1} -a_ {1}}$
10. ${ displaystyle a_ {11} + b_ {11} + c_ {11} = c_ {1} -b_ {1} + a_ {1}}$
11. ${ displaystyle a_ {12} + b_ {12} + c_ {12} = c_ {1}}$
12. ${ displaystyle a_ {13} + b_ {13} + c_ {13} = a_ {1} + b_ {1} -c_ {1}}$
13. ${ displaystyle a_ {14} + b_ {14} + c_ {14} = c_ {1} -a_ {1}}$
14. ${ displaystyle a_ {15} + b_ {15} + c_ {15} = c_ {1} -c_ {1}}$

• ${ displaystyle (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8}) + (b_ {14} -a_ {14}) + (b_ {15} -a_ {15}) = 2 * (b_ {12} -a_ {12})}$
• ${ displaystyle a_ {8} + (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8}) = b_ {7}}$

Ли Чжи вывел в общей сложности 692 формулы в хайцзине Сэйюань. Восемь формул неверны, все остальные верны^[5]

В томах 2 и 12 содержится 170 задач, каждая из которых использует несколько выбранных из этой формулы для формирования полиномиальных уравнений от 2-го до 6-го порядка. Фактически, существует 21 задача, дающая полиномиальное уравнение третьего порядка, 13 задач, дающие полиномиальное уравнение 4-го порядка, и одна задача, дающая полиномиальное уравнение 6-го порядка.^[6]

Том 2

Этот том начинается с общей гипотезы^[7]

Все последующие 170 задач представляют собой несколько отрезков, их сумму или разность, чтобы найти радиус или диаметр круглого города. Все задачи имеют более или менее одинаковый формат; он начинается с вопроса, за которым следует описание алгоритма, иногда за которым следует пошаговое описание процедуры.

Девять типов вписанного круга

Первые десять задач были решены без использования тянь юань шу. Эти проблемы связаны с различными типами вписанного круга.

Вопрос 1

Двое мужчин A и B начинают движение из угла Q. A идет на восток 320 шагов и останавливается. B идет на юг 600 шагов и видит B. Каков диаметр круглого города?

Ответ: диаметр круглого городка 240 шагов.

Это проблема вписанного круга, связанная с ${ Displaystyle треугольник TLQ}$

Алгоритм:${ displaystyle d = {2a_ {1} times b_ {1} over a_ {1} + b_ {1} + c_ {1}}}$

${ displaystyle = {2 * 320 * 600 более 320 + 600 + { sqrt {(}} 320 ^ {2} + 600 ^ {2})} = 240}$

вопрос 2

Двое мужчин A и B стартуют у западных ворот. B идет на восток на 256 шагов, A идет на юг на 480 шагов и видит B. Каков диаметр города?

Ответ 240 шагов

Это проблема вписанного круга, связанная с ${ Displaystyle треугольник TWB}$

Из таблицы 1 256 = ${ displaystyle a_ {2}}$; 480 =${ displaystyle b_ {2}}$

Алгоритм:

${ displaystyle {2a_ {2} times b_ {2} over a_ {2} + b_ {2} + c_ {2}} = d}$

${ displaystyle = {2 * 256 * 480 более 256 + 600 + { sqrt {(}} 256 ^ {+} 600 ^ {2})} = 240}$

Вопрос 3

вписанный круг проблема, связанная с ${ Displaystyle треугольник RDN}$

${ displaystyle {2a_ {3} times b_ {3} over a_ {3} + b_ {3} + c_ {3}} = d}$

Вопрос 4 ： проблема вписанного круга, связанная с ${ Displaystyle треугольник RSC}$

${ displaystyle {2a_ {12} times b_ {12} over c_ {12}} = d}$

Вопрос 5 ： проблема вписанного круга, связанная с ${ Displaystyle треугольник TWB}$

${ displaystyle {2a times b over a + b} = d}$

Вопрос 6

${ displaystyle {2a_ {10} times b_ {10} over b_ {10} -a_ {10} + c_ {10}} = d}$

Вопрос 7

${ displaystyle {2a_ {11} times b_ {11} over b_ {11} -a_ {11} + c_ {11}} = d}$

Вопрос 8

${ displaystyle {2a_ {13} times b_ {13} over b_ {13} + a_ {13} -c_ {13}} = d}$

Вопрос 9

${ displaystyle {2a_ {14} times b_ {14} over c_ {14} -a_ {14}} = d}$

Вопрос 10

${ displaystyle {2a_ {15} times b_ {15} over c_ {15} -b_ {15}} = d}$

Тянь Юань Шу

Циюань хайцзин том II Задача 14, подробное описание процедуры (草 曰)

Начиная с задачи 14, Ли Чжи ввел «тянь юань один» как неизвестную переменную и создал два выражения в соответствии с разделом Определение и формула, затем приравняйте эти два выражения тянь юань шу. Затем он решил проблему и получил ответ.

Вопрос 14:«Представьте, что человек выходит из Западных ворот и направляется на юг на 480 шагов и наталкивается на дерево. Затем он вышел из Северных ворот, направляясь на восток на 200 шагов, и увидел то же дерево. Каков радиус собственного круга?»。

Алгоритм: установите радиус равным единице Тянь юань, поместите счетные стержни представляя южный 480 шагов по полу, вычтите радиус тянь юаня, чтобы получить

：${ displaystyle 480-x}$

元

。

Затем вычтите тянь юань из 200 шагов на восток, чтобы получить:

${ displaystyle 200-x}$

元

умножьте эти два выражения, чтобы получить ：${ displaystyle x ^ {2} -680x + 96000}$

元

元

то есть${ displaystyle x ^ {2} -680x + 96000 = 2x ^ {2}}$

таким образом:${ displaystyle -x ^ {2} -680x + 96000 = 0}$

元

Решите уравнение и получите ${ displaystyle r = 120}$

Том 3

17 проблем связанных с сегментом ${ displaystyle b_ {2}}$т.е. TW в ${ Displaystyle треугольник TWB}$^[8]

В ${ displaystyle a_ {10}}$ пары с ${ displaystyle b_ {11}}$,${ displaystyle a_ {11}}$ пары с ${ displaystyle b_ {10}}$ и ${ displaystyle a_ {15}}$ пары с ${ displaystyle b_ {14}}$ в задачах с таким же номером тома 4. Другими словами, например, изменить ${ displaystyle a_ {11}}$ проблемы 2 в томе 3 в ${ displaystyle b_ {10}}$ превращает это в проблему 2 из 4 тома.^[9]

Проблема #	ДАННЫЙ	Икс	Уравнение
1	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle c_ {4}}$		прямой расчет без тянь юаня
2	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle a_ {11}}$	d	${ displaystyle x ^ {2} + a_ {11} x-2b_ {2} a_ {11} = 0}$
3	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle b_ {11}}$	р	${ displaystyle x ^ {2} + b_ {2} x-b_ {2} b_ {11} = 0}$
4	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle a_ {15}}$	d	${ displaystyle x ^ {3} + a_ {15} x ^ {2} -4a_ {15} b_ {2} ^ {2} = 0}$
5	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle a_ {14}}$	d	${ displaystyle x ^ {3} - (b_ {2} -2a_ {14}) x ^ {2} + a_ {14} ^ {2} * x + a_ {14} ^ {2} * b_ {2} = 0}$
6	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle a_ {10}}$	р	${ displaystyle x ^ {2} + (b_ {2} - (b_ {2} -c_ {10})) x + b_ {2} (b_ {2} -c_ {10}) = 0}$
7	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle c_ {2}}$	р	${ displaystyle ((1/2) * c_ {2} - (1/2) * b_ {2} + b_ {2}) * x ^ {2} - (1/2) * (c_ {2} - б_ {2}) б_ {2} ^ {2} = 0}$
8	${ displaystyle b_ {2}}$， ${ displaystyle c_ {1}}$	р	${ displaystyle 2x ^ {2} + ((c_ {1} + b_ {2}) + (c_ {1} -b_ {2})) x - ((c_ {1} + b_ {2}) (c_ {1} -b_ {2}) - (c_ {1} -b_ {2}) ^ {2})) = 0}$
9	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle c_ {6}}$	р	${ displaystyle 2x ^ {2} -2 (b_ {2} -2 (b_ {2} -c_ {5})) b_ {2} = 0}$
10	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle b_ {14}}$	р	${ displaystyle x ^ {2} -2b_ {2} x + ((b_ {2} -b_ {14}) ^ {2} -b_ {14} ^ {2} = 0}$
11	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle a_ {10}}$	р	${ displaystyle (2b_ {2} -a_ {10}) x-b_ {2} a_ {10} = 0}$
12	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle c_ {15}}$	${ displaystyle b_ {15}}$	${ displaystyle x ^ {2} + (b_ {2} + c_ {15}) x-b_ {2} c_ {15} = 0}$
13	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle c_ {14}}$	${ displaystyle a_ {14}}$	${ displaystyle x ^ {4} -2 (b_ {2} -c_ {14}) x ^ {3} + (b_ {2} -c_ {14}) ^ {2} x ^ {2} + 2b_ { 2} c_ {14} ^ {2} x- (2 (b_ {2} -c_ {14}) - b_ {2})) b_ {2} c_ {14} ^ {2} = 0}$
14	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle c_ {6}}$		${ displaystyle r = { sqrt {(}} (2c_ {6} -b_ {2}) b_ {2})}$
15	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle c_ {8}}$	р	${ displaystyle -x ^ {3} -c_ {8} x ^ {2} -b_ {2} ^ {2} x + c_ {8} b_ {2} ^ {2} = 0}$
16	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle b_ {14} + c_ {14}}$		рассчитать по формуле для вписанного круга
17	${ displaystyle b_ {2}}$，${ displaystyle a_ {15} + c_ {15}}$		Рассчитайте по формуле для вписанного круга

Том 4

17 задач, учитывая ${ displaystyle a_ {3}}$и второй сегмент, найти диаметр круглого города.^[10]

。

Q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
второй отрезок линии	${ displaystyle c_ {5}}$	${ displaystyle b_ {10}}$	${ displaystyle a_ {10}}$	${ displaystyle b_ {14}}$	${ displaystyle b_ {15}}$	${ displaystyle c_ {11}}$	${ displaystyle c_ {13}}$	${ displaystyle c_ {1}}$	${ displaystyle c_ {9}}$	${ displaystyle a_ {15}}$	${ displaystyle b_ {11}}$	${ displaystyle c_ {14}}$	${ displaystyle c_ {15}}$	${ displaystyle c_ {9}}$	${ displaystyle c_ {7}}$	${ displaystyle a_ {15} + c_ {15}}$	${ displaystyle b_ {14} + c_ {14}}$

Том 5

18 задач, учитывая${ displaystyle b_ {1}}$。^[10]

Q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
второй отрезок линии	${ displaystyle b_ {14}}$	${ displaystyle a_ {14}}$	${ displaystyle a_ {15}}$	${ displaystyle b_ {15}}$	${ displaystyle b_ {11}}$	${ displaystyle a_ {11}}$	${ displaystyle c_ {10}}$	${ displaystyle c_ {4}}$	${ displaystyle c_ {2}}$	${ displaystyle c_ {1}}$	${ displaystyle c_ {6}}$	${ displaystyle c_ {9} -a_ {11}}$	${ displaystyle c_ {15}}$	${ displaystyle c_ {14}}$	${ displaystyle c_ {9}}$	${ displaystyle c_ {12}}$	${ displaystyle a_ {15} + b_ {14}}$	${ displaystyle c_ {13}}$

Том 6

18 задач.

Q1-11，13-19 задано${ displaystyle a_ {1}}$， И второй отрезок прямой, найдите диаметр d.^[10]

Q12 ： данный ${ displaystyle a_ {1} + c_ {3}}$и другой отрезок прямой, найдите диаметр d.

Q	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Данный	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1} + c_ {3}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$	${ displaystyle a_ {1}}$
Второй отрезок линии	${ displaystyle a_ {15}}$	${ displaystyle b_ {15}}$	${ displaystyle b_ {14}}$	${ displaystyle a_ {14}}$	${ displaystyle a_ {10}}$	${ displaystyle b_ {10}}$	${ displaystyle c_ {11}}$	${ displaystyle c_ {5}}$	${ displaystyle c_ {3}}$	${ displaystyle c_ {1}}$	${ displaystyle c_ {9}}$	${ displaystyle b_ {10} -c_ {6}}$	${ displaystyle c_ {14}}$	${ displaystyle c_ {15}}$	${ displaystyle c_ {6}}$	${ displaystyle c_ {12}}$	${ displaystyle a_ {15} + b_ {14}}$	${ displaystyle a_ {13}}$

Том 7

18 задач, по двум отрезкам прямой найти диаметр круглого города^[11]

Q	Данный
1	${ displaystyle a_ {14}}$，${ displaystyle b_ {15}}$
2	${ displaystyle a_ {15}}$，${ displaystyle b_ {14}}$
3	${ displaystyle a_ {14}}$，${ displaystyle a_ {15}}$
4	${ displaystyle b_ {14}}$，${ displaystyle b_ {15}}$
5	${ displaystyle a_ {14}}$，${ displaystyle c_ {8}}$
6	${ displaystyle b_ {15}}$，${ displaystyle c_ {7}}$
7	${ displaystyle b_ {15}}$，${ displaystyle c_ {13}}$
8	${ displaystyle a_ {14}}$，${ displaystyle c_ {13}}$
9	${ displaystyle d-a_ {14}}$，${ displaystyle d-b_ {15}}$
10	${ displaystyle d-b_ {14}}$，${ displaystyle d-a_ {15}}$
11	${ displaystyle c_ {12}}$，${ displaystyle a_ {15} + b_ {14}}$
12	${ displaystyle a_ {15} + b_ {14}}$，${ displaystyle c_ {13}}$
13	${ displaystyle b_ {15} + c_ {13}}$，${ displaystyle c_ {13} -b_ {15}}$
14	${ displaystyle a_ {14} + b_ {15} + c_ {13}}$，${ displaystyle a_ {14} + b_ {15} + c_ {13} -a_ {14}}$，
15	${ displaystyle c_ {14}}$，${ displaystyle d-b_ {15}}$
16	${ displaystyle c_ {5}}$，${ displaystyle d-a_ {14}}$
17	${ displaystyle a_ {1} -a_ {14}}$，${ displaystyle b_ {1} -b_ {15}}$
18	${ displaystyle a_ {1} + a_ {14}}$，${ displaystyle b_ {1} -b_ {15}}$

Том 8

За 17 задач по трем-восьми отрезкам или их сумме или разности можно найти диаметр круглого города.^[12]

Q	Данный
1	${ displaystyle a_ {14} + b_ {14}}$，${ displaystyle a_ {15} + b_ {15}}$，${ displaystyle c_ {12}}$
2	${ displaystyle a_ {14} + b_ {14}}$，${ displaystyle a_ {15} + b_ {15}}$，${ displaystyle c_ {13}}$
3	${ displaystyle (c_ {12} -a_ {12}) + (c_ {12} -b_ {12})}$，${ displaystyle d_ {14} + d_ {15}}$
4	${ displaystyle c_ {15}}$，${ displaystyle c_ {14}}$
5	${ displaystyle b_ {14} + c_ {14}}$，${ displaystyle c_ {15} + b_ {15}}$
6	${ displaystyle a_ {15} + c_ {15}}$，${ displaystyle a_ {14} + c_ {14}}$
7	${ displaystyle a_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle a_ {15} + c_ {15}}$
8	${ displaystyle a_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle a_ {14} + c_ {14}}$
9	${ displaystyle b_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle b_ {15} + c_ {15}}$
10	${ displaystyle b_ {1} + c_ {1}}$，${ displaystyle b_ {14} + c_ {14}}$，
11	${ displaystyle b_ {14} + c_ {14}}$，${ displaystyle a_ {15} + c_ {15}}$，${ displaystyle b_ {14} + a_ {15} -c_ {13}}$
12	${ displaystyle (b_ {8} -a_ {8}) + (b_ {2} -a_ {2})}$，${ displaystyle b_ {14} + a_ {15} -c_ {13}}$
13	${ displaystyle b_ {7} -a_ {8}}$，${ displaystyle (b_ {14} -a_ {14}) + (b_ {15} -a_ {15})}$，${ displaystyle c_ {12} -d}$
14	${ displaystyle (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8})}$，${ displaystyle (b_ {14} -a_ {14}) + (b_ {15} -a_ {15})}$
15	${ displaystyle a_ {14} + b_ {14}}$，${ displaystyle a_ {15} + b_ {15}}$
16	${ displaystyle a_ {14} + a_ {15}}$，${ displaystyle b_ {14} + b_ {15}}$

Проблема 14

Учитывая, что сумма разницы GAO и разницы MING составляет 161 шаг, а сумма разницы MING и разницы ZHUAN составляет 77 шагов. Какой диаметр у круглого города?

Ответ: 120 шагов.

Алгоритм:^[13]

Данный

${ displaystyle (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8}) = 161}$

${ displaystyle (b_ {14} -a_ {14}) + (b_ {15} -a_ {15}) = 77}$

： Сложите эти два элемента и разделите на 2; в соответствии с # Определения и формулы, это равняется разнице HUANGJI:

${ displaystyle (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8}) + (b_ {14} -a_ {14}) + (b_ {15} -a_ {15}) более 2}$ ${ displaystyle = (b_ {12} -a_ {12})}$

${ displaystyle b_ {12} -a_ {12} =}$${ displaystyle 161 + 77 over 2}$${ displaystyle = 119}$

Пусть единица Тянь Юань - это горизонталь SHANGPING (SG):

${ displaystyle x = a_ {8}}$

${ displaystyle x + 161}$ =${ displaystyle x + (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8}) = a_ {8} + (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8})}$

${ displaystyle = b_ {7}}$ (# Определение и формула)

С ${ displaystyle a_ {8} + b_ {7} = c_ {12}}$ (Определение и формула)

${ displaystyle c_ {12} = x + b_ {7} = 2 * x + (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8}) = 2 * x + 161}$

${ displaystyle c_ {12} ^ {2} = (x + b_ {7}) ^ {2} = (2 * x + 161) ^ {2} = 4 * x ^ {2} + 644 * x + 25921 }$

${ displaystyle c_ {12} ^ {2} - (b_ {12} -a_ {12}) ^ {2}}$

${ displaystyle = 4 * x ^ {2} + 644 * x + 25921-}$${ displaystyle ((b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8}) + (b_ {14} -a_ {14}) + (b_ {15} -a_ {15} )) ^ {2} более 4}$

${ displaystyle = 4 * x ^ {2} + 644 * x + 11760 = d}$(диаметр круглого городка),

${ displaystyle d ^ {2} = (4 * x ^ {2} + 644 * x + 11760) ^ {2} = 16 * x ^ {4} + 5152 * x ^ {3} + 508816 * x ^ { 2} + 15146880 * x + 138297600}$

Теперь умножьте длину RZ на ${ displaystyle 4 * x}$

${ displaystyle 4 * x * b_ {7} = 4 * x * (x + (b_ {7} -a_ {7}) + (b_ {8} -a_ {8})) = 4 * x * (x + 161) = 4 * x ^ {2} + 644 * x}$

умножьте его на квадрат RS:

${ displaystyle d ^ {2} = 4 * x * b_ {7} * c_ {12} ^ {2} =}$${ displaystyle (4 * x ^ {2} + 644 * x) * (4 * x ^ {2} + 644 * x + 25921) =}$${ displaystyle 16 * x ^ {4} + 5152 * x ^ {3} + 518420 * x ^ {2} +16693124}$

приравняем выражения для двух ${ displaystyle d ^ {2}}$

таким образом

${ displaystyle 16 * x ^ {4} + 5152 * x ^ {3} + 518420 * x ^ {2} + 16693124 =}$${ displaystyle 16 * x ^ {4} + 5152 * x ^ {3} + 508816 * x ^ {2} + 15146880 * x + 138297600}$

Мы получаем:

${ displaystyle 9604 * x ^ {2} + 1546244 * x-138297600 = 0}$

решаем его и получаем ${ displaystyle x = a_ {8} = 64}$;

Это соответствует горизонтали ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ 8-го треугольника в # Номера сегментов.^[14]

Том 9

Часть I

Проблемы	данный
1	${ displaystyle a_ {12} + b_ {12} + c_ {12}}$，${ displaystyle b_ {12} -a_ {12}}$
2	${ displaystyle c_ {1}}$，${ displaystyle b_ {1} -a_ {1}}$
3	${ displaystyle c_ {1}}$，${ displaystyle a_ {10} + b_ {11}}$
4	${ displaystyle c_ {1}}$，${ displaystyle a_ {2} + b_ {3}}$

Часть II

Проблемы	данный
1	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle a_ {2}}$，${ displaystyle b_ {3}}$
2	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle c_ {13} + b_ {13} -a_ {13}}$，${ displaystyle c_ {13} -b_ {13} + a_ {13}}$
3	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle a_ {11} + b_ {11}}$，${ displaystyle a_ {10} + b_ {10}}$
4	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle c_ {10} -a_ {10}}$，${ displaystyle c_ {11} -b_ {11}}$
5	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle c_ {6} + c_ {8}}$，${ displaystyle c_ {6} -c_ {8}}$
6	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle c_ {10}}$，${ displaystyle c_ {11}}$
7	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle c_ {4}}$，${ displaystyle c_ {5}}$
8	${ displaystyle a_ {1} + b_ {1}}$，${ displaystyle c_ {2}}$，${ displaystyle c_ {3}}$