Уравнения Чандрасекара – Пейджа - Википедия - Chandrasekhar–Page equations

Уравнения Чандрасекара – Пейджа описывают волновую функцию вращение-1/2 массивные частицы, что привело к поиску разделимого решения Уравнение Дирака в Метрика Керра или Метрика Керра – Ньюмана. В 1976 г. Субраманян Чандрасекар показал, что разделимое решение может быть получено из Уравнение Дирака в Метрика Керра.^[1] Позже, Дон Пейдж расширил эту работу на Метрика Керра-Ньюмана, что применимо к заряженным черным дырам.^[2] В своей статье Пейдж отмечает, что Н. Тоуп также получил свои результаты независимо, о чем ему сообщил Чандрасекар.

Принимая разложение по нормальному режиму в виде ${ Displaystyle е ^ {я ( омега т + м фи)}}$ для времени и азимутальной составляющей сферических полярных координат ${ Displaystyle (г, тета, фи)}$, Чандрасекар показал, что четыре биспинор компоненты могут быть выражены как произведение радиальной и угловой функций. Две радиальные и угловые функции соответственно обозначаются ${ Displaystyle R _ {+ { frac {1} {2}}} (г)}$, ${ Displaystyle R _ {- { frac {1} {2}}} (г)}$ и ${ displaystyle S _ {+ { frac {1} {2}}} ( theta)}$, ${ displaystyle S _ {- { frac {1} {2}}} ( theta)}$. Энергия, измеренная на бесконечности, равна ${ displaystyle omega}$ а осевой угловой момент равен ${ displaystyle m}$ что является полуцелым числом.

Угловые уравнения Чандрасекара – Пейджа

Угловые функции удовлетворяют связанным уравнениям на собственные значения:^[3]

${ displaystyle { begin {align} { mathcal {L}} _ { frac {1} {2}} S _ {+ { frac {1} {2}}} & = - ( lambda -a mu cos theta) S _ {- { frac {1} {2}}}, { mathcal {L}} _ { frac {1} {2}} ^ { dagger} S _ {- { frac {1} {2}}} & = + ( lambda + a mu cos theta) S _ {+ { frac {1} {2}}}, end {align}}}$

где

${ displaystyle { mathcal {L}} _ { frac {1} {2}} = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} theta}} + Q + { frac { cot theta} {2}}, quad { mathcal {L}} _ { frac {1} {2}} ^ { dagger} = { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} theta}} - Q + { frac { cot theta} {2}}}$

и ${ Displaystyle Q = а омега грех тета + м csc тета}$. Вот ${ displaystyle a}$ это угловой момент на единицу массы черной дыры и ${ displaystyle mu}$ это масса покоя частицы. Устранение ${ Displaystyle S _ {+ 1/2} ( theta)}$ между двумя предыдущими уравнениями получаем

${ displaystyle left ({ mathcal {L}} _ { frac {1} {2}} { mathcal {L}} _ { frac {1} {2}} ^ { dagger} + { гидроразрыв {a mu sin theta} { lambda + a mu cos theta}} { mathcal {L}} _ { frac {1} {2}} ^ { dagger} + lambda ^ {2} -a ^ {2} mu ^ {2} cos ^ {2} theta right) S _ {- { frac {1} {2}}} = 0.}$

Функция ${ displaystyle S _ {+ { frac {1} {2}}}}$ удовлетворяет сопряженному уравнению, которое может быть получено из приведенного выше уравнения заменой ${ displaystyle theta}$ с участием ${ displaystyle pi - theta}$. Граничные условия для этих дифференциальных уравнений второго порядка таковы, что ${ displaystyle S _ {- { frac {1} {2}}}}$(и ${ displaystyle S _ {+ { frac {1} {2}}}}$) быть регулярным в ${ displaystyle theta = 0}$ и ${ displaystyle theta = pi}$. Представленная здесь задача на собственные значения в общем случае требует численного интегрирования для ее решения. Явные решения доступны для случая, когда ${ displaystyle omega = mu}$.^[4]

использованная литература