Лемма Чандрасекара – Вентцеля. - Chandrasekhar–Wentzel lemma

В векторное исчисление, Лемма Чандрасекара – Вентцеля. был получен Субраманян Чандрасекар и Грегор Вентцель в 1965 г. при изучении устойчивости вращающейся капли жидкости.^[1][2] Лемма утверждает, что если ${ displaystyle mathbf {S}}$ - поверхность, ограниченная простым замкнутым контуром ${ displaystyle C}$, тогда

${ displaystyle mathbf {L} = oint _ {C} mathbf {x} times (d mathbf {x} times mathbf {n}) = - int _ { mathbf {S}} ( mathbf {x} times mathbf {n}) nabla cdot mathbf {n} dS.}$

Здесь ${ displaystyle mathbf {x}}$ - вектор положения и ${ Displaystyle mathbf {п}}$ - единица нормали к поверхности. Непосредственным следствием этого является то, что если ${ displaystyle mathbf {S}}$ является замкнутой поверхностью, то линейный интеграл стремится к нулю, что приводит к результату

${ Displaystyle int _ { mathbf {S}} ( mathbf {x} times mathbf {n}) nabla cdot mathbf {n} dS = 0,}$

или, в индексной записи, мы имеем

${ Displaystyle int _ { mathbf {S}} x_ {j} nabla cdot mathbf {n} dS_ {k} = int _ { mathbf {S}} x_ {k} nabla cdot mathbf {n} dS_ {j}.}$

То есть тензор

${ displaystyle T_ {ij} = int _ { mathbf {S}} x_ {j} nabla cdot mathbf {n} dS_ {i}}$

определенный на замкнутой поверхности всегда симметричен, т. е. ${ displaystyle T_ {ij} = T_ {ji}}$.

Доказательство

Запишем вектор в индексных обозначениях, но соглашение о суммировании мы будем избегать на протяжении всего доказательства. Тогда левую часть можно записать как

${ displaystyle L_ {i} = oint _ {C} [dx_ {i} (n_ {i} x_ {j} + n_ {k} x_ {k}) + dx_ {j} (- n_ {i} x_ {j}) + dx_ {k} (- n_ {i} x_ {k})].}$

Преобразование линейного интеграла в поверхностный интеграл с помощью Теорема Стокса, мы получили

${ displaystyle L_ {i} = int _ { mathbf {S}} left {n_ {i} left [{ frac { partial} { partial x_ {j}}} (- n_ {i } x_ {k}) - { frac { partial} { partial x_ {k}}} (- n_ {i} x_ {j}) right] + n_ {j} left [{ frac { partial} { partial x_ {k}}} (n_ {j} x_ {j} + n_ {k} x_ {k}) - { frac { partial} { partial x_ {i}}} (- n_ {i} x_ {k}) right] + n_ {k} left [{ frac { partial} { partial x_ {i}}} (- n_ {i} x_ {j}) - { frac { partial} { partial x_ {j}}} (n_ {j} x_ {j} + n_ {k} x_ {k}) right] right } dS.}$

Проведя необходимое дифференцирование и после некоторой перестановки, получим

${ displaystyle L_ {i} = int _ { mathbf {S}} left [- { frac {1} {2}} x_ {k} { frac { partial} { partial x_ {j} }} (n_ {i} ^ {2} + n_ {k} ^ {2}) + { frac {1} {2}} x_ {j} { frac { partial} { partial x_ {k} }} (n_ {i} ^ {2} + n_ {j} ^ {2}) + n_ {j} x_ {k} left ({ frac { partial n_ {i}} { partial x_ {i }}} + { frac { partial n_ {k}} { partial x_ {k}}} right) -n_ {k} x_ {j} left ({ frac { partial n_ {i}} { partial x_ {i}}} + { frac { partial n_ {j}} { partial x_ {j}}} right) right] dS,}$

или, другими словами,

${ displaystyle L_ {i} = int _ { mathbf {S}} left [{ frac {1} {2}} left (x_ {j} { frac { partial} { partial x_ { k}}} - x_ {k} { frac { partial} { partial x_ {j}}} right) | mathbf {n} | ^ {2} - (x_ {j} n_ {k} - x_ {k} n_ {j}) nabla cdot mathbf {n} right] dS.}$

И с тех пор ${ Displaystyle | mathbf {п} | ^ {2} = 1}$, у нас есть

${ displaystyle L_ {i} = - int _ { mathbf {S}} (x_ {j} n_ {k} -x_ {k} n_ {j}) nabla cdot mathbf {n} dS, }$

тем самым доказывая лемму.

Рекомендации