Коэффициент реституции - Coefficient of restitution

А прыгающий мяч снято с помощью стробоскопической вспышки со скоростью 25 кадров в секунду: игнорирование сопротивление воздуха, квадратный корень из отношения высоты одного отскока к высоте предыдущего отскока дает коэффициент восстановления при ударе мяча о поверхность.

В коэффициент реституции (COR), также обозначаемый (е), - это отношение конечной относительной скорости к начальной между двумя объектами после столкновения. Обычно он находится в диапазоне от 0 до 1, где 1 будет абсолютно упругим столкновением. Совершенно неупругое столкновение имеет коэффициент 0, но значение 0 не обязательно должно быть совершенно неупругим. Он измеряется в Испытание на твердость отскока по Leeb, выражается как 1000-кратное COR, но это только действительный COR для теста, а не как универсальный COR для тестируемого материала.

Значение почти всегда меньше единицы из-за потери начальной поступательной кинетической энергии на вращательную кинетическую энергию, пластическую деформацию и тепло. Оно может быть больше 1, если во время столкновения происходит увеличение энергии в результате химической реакции, уменьшение энергии вращения или другое. внутренняя энергия уменьшение, которое способствует увеличению скорости после столкновения.

${displaystyle {ext {Коэффициент восстановления}} (e) = {frac {left | {ext {Относительная скорость после столкновения}} ight |} {left | {ext {Относительная скорость до столкновения}} ight |}}}$

Математика была разработана сэром Исаак Ньютон в 1687 г.^[1] Он также известен как экспериментальный закон Ньютона.

Более подробная информация

Линия удара - Это линия, по которой е либо при отсутствии тангенциальной силы реакции между сталкивающимися поверхностями, сила удара распределяется по этой линии между телами. При физическом контакте между телами при ударе его линия проходит по общей нормали к паре поверхностей, соприкасающихся с сталкивающимися телами. Следовательно е определяется как безразмерный одномерный параметр.

Диапазон значений для е - рассматривается как постоянная

е обычно является положительным действительным числом от 0 до 1:

е = 0: Это прекрасно неэластичный столкновение. Это означает, что кинетическая энергия по общей нормали равна 0. Кинетическая энергия преобразуется в тепло или работу, совершаемую при деформации объектов.

0 < е < 1: Это реальный мир неэластичный столкновение, при котором некоторая кинетическая энергия рассеивается.

е = 1: Это идеально эластичный столкновение, при котором кинетическая энергия не рассеивается, и объекты отскакивают друг от друга с той же относительной скоростью, с которой они приближались.

е < 0: COR меньше нуля будет представлять столкновение, при котором скорость разделения объектов имеет то же направление (знак), что и скорость сближения, подразумевая, что объекты проходят друг через друга без полного взаимодействия. Это также можно рассматривать как неполную передачу импульса. Примером этого может быть небольшой плотный объект, проходящий через большой, менее плотный - например, пуля, проходящая через цель.

е > 1: Это будет представлять собой столкновение, при котором выделяется энергия, например, нитроцеллюлоза Бильярдные шары могут буквально взорваться в момент удара. Кроме того, в некоторых недавних статьях описаны сверхупругие столкновения, в которых утверждается, что COR может принимать значение больше единицы в частном случае косых столкновений.^[2][3][4] Эти явления связаны с изменением траектории отскока из-за трения. В таком столкновении кинетическая энергия увеличивается, как при взрыве. Возможно, что ${displaystyle e = infty}$ для идеального взрыва жесткой системы.

Фаза максимальной деформации - При любом столкновении при 0 < е ≤ 1, существует условие, когда в течение короткого момента вдоль линии удара сталкивающиеся тела имеют одинаковую скорость, когда его условие кинетической энергии теряется в максимальной доле в виде тепла, звука и света с потенциальной энергией деформации. Для этой короткой продолжительности это столкновение e = 0 и может быть названо неупругой фазой.

Парные объекты

COR является собственностью пара объектов в столкновении, а не одного объекта. Если данный объект сталкивается с двумя разными объектами, каждое столкновение будет иметь свой собственный COR. Когда объект описывается как имеющий коэффициент восстановления, как если бы он был внутренним свойством без ссылки на второй объект, предполагается, что он находится между идентичными сферами или у совершенно жесткой стены.

Совершенно жесткая стенка невозможна, но может быть аппроксимирована стальным блоком, если исследовать COR сфер с гораздо меньшим модулем упругости. В противном случае COR будет подниматься, а затем падать в зависимости от скорости столкновения более сложным образом.^[5]

Связь с сохранением энергии и импульса

В одномерном столкновении двумя ключевыми принципами являются: сохранение энергии (сохранение кинетической энергии, если столкновение абсолютно упругое) и сохранение (линейного) импульса. Третье уравнение может быть получено^{[нужна цитата ]} из этих двух, что является уравнением восстановления, как указано выше. При решении задач можно использовать любые два из трех уравнений. Преимущество использования уравнения реституции в том, что иногда оно обеспечивает более удобный способ решения проблемы.

Позволять ${displaystyle m_ {1}}$, ${displaystyle m_ {2}}$ - масса объекта 1 и объекта 2 соответственно. Позволять ${displaystyle u_ {1}}$, ${displaystyle u_ {2}}$ - начальная скорость объекта 1 и объекта 2 соответственно. Позволять ${displaystyle v_ {1}}$, ${displaystyle v_ {2}}$ - конечная скорость объекта 1 и объекта 2 соответственно.

${displaystyle {egin {cases} {frac {1} {2}} m_ {1} u_ {1} ^ {2} + {frac {1} {2}} m_ {2} u_ {2} ^ {2}) = {frac {1} {2}} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + {frac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2} m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} = m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2} конец {случаи}}}$

Из первого уравнения

${displaystyle m_ {1} (u_ {1} ^ {2} -v_ {1} ^ {2}) = m_ {2} (v_ {2} ^ {2} -u_ {2} ^ {2})}$

${displaystyle m_ {1} (u_ {1} + v_ {1}) (u_ {1} -v_ {1}) = m_ {2} (v_ {2} + u_ {2}) (v_ {2} - u_ {2})}$

Из второго уравнения

${displaystyle m_ {1} (u_ {1} -v_ {1}) = m_ {2} (v_ {2} -u_ {2})}$

После разделения

${displaystyle u_ {1} + v_ {1} = v_ {2} + u_ {2}}$

${displaystyle u_ {1} -u_ {2} = - (v_ {1} -v_ {2})}$

${displaystyle {frac {left | v_ {1} -v_ {2} ight |} {left | u_ {1} -u_ {2} ight |}} = 1}$

Вышеприведенное уравнение является уравнением восстановления, а коэффициент восстановления равен 1, что соответствует идеально упругому столкновению.

Спортивное оборудование

Коэффициент реституции вошел в общий словарь, по крайней мере среди игроков в гольф, когда производители клюшек начали делать тонколицых водителей с так называемым «эффектом трамплина», который создает движения на большее расстояние в результате сгибания и последующего высвобождения накопленная энергия, придающая мячу больший импульс. В USGA (Руководящий орган Америки по гольфу) начал тестирование драйверов для COR и установил верхний предел на уровне 0,83. В апреле 2006 года был опубликован более подробный отчет с использованием пяти лучших мячей для гольфа, используемых профессиональными гольфистами. В этом отчете освещены факты о мячах для гольфа, выходящие за рамки COR. Из-за природы полимеров (искусственных пластиков), где уровни напряжения и деформации не являются ньютоновскими, как жидкости, металлы и т. Д. Из-за этого COR является функцией скорости вращения клюшки и уменьшается с увеличением скорости клюшки. USGA четко заявляет, что ничего особенного не может быть достигнуто за пределами скорости клюшки 90 миль в час. В отчете COR колеблется от 0,845 при скорости 90 миль в час до 0,797 при скорости 130 миль в час. Вышеупомянутый «эффект батута» ясно показывает это, так как он снижает уровень стресса при столкновении или, другими словами, «увеличивает» время столкновения. Номер этого отчета; RB / cor2006-01 by Стивен Дж Квинтавалла, доктор философии Согласно одной статье (обращаясь к COR в теннис ракетки ), «[f] или тестовые условия, используемый коэффициент восстановления составляет 0,85 для всех ракеток, исключая переменные натяжения струны и жесткости рамы, которые могут добавлять или вычитать из коэффициента восстановления».^[6]

В Международная федерация настольного тенниса указывает, что мяч должен отскочить вверх на 24–26 см при падении с высоты 30,5 см на стандартный стальной блок, таким образом, он имеет COR от 0,887 до 0,923.^[7] Для пола из жесткого линолеума с бетоном под ним кожаный баскетбольный мяч имеет COR около 0,81–0,85.^[8]

Уравнения

В случае одномерного столкновения с участием двух объектов, объекта A и объекта B, коэффициент восстановления определяется как:

${displaystyle C_ {R} = {frac {left | v_ {ext {b}} - v_ {ext {a}} ight |} {left | u_ {ext {a}} - u_ {ext {b}} ight | }}}$, куда:

${displaystyle v_ {ext {a}}}$ конечная скорость объекта А после удара

${displaystyle v_ {ext {b}}}$ конечная скорость объекта B после удара

${displaystyle u_ {ext {a}}}$ - начальная скорость объекта A до удара

${displaystyle u_ {ext {b}}}$ - начальная скорость объекта B до удара

Хотя ${displaystyle C_ {R}}$ не зависит явно от масс объектов, важно отметить, что конечные скорости зависят от массы. Для двух- и трехмерных столкновений твердых тел используемые скорости представляют собой компоненты, перпендикулярные касательной линии / плоскости в точке контакта, то есть вдоль линии удара.

Для объекта, отражающегося от неподвижной цели, ${displaystyle C_ {R}}$ определяется как отношение скорости объекта после удара к скорости до удара:

${displaystyle C_ {R} = {гидроразрыв {v} {u}}}$, куда

${displaystyle v}$ это скорость объекта после удара

${displaystyle u}$ это скорость объекта до удара

В случае, когда силами трения можно пренебречь и объект падает из состояния покоя на горизонтальную поверхность, это эквивалентно:

${displaystyle C_ {R} = {sqrt {frac {h} {H}}}}$, куда

${displaystyle h}$ это высота отскока

${displaystyle H}$ высота падения

Коэффициент восстановления можно рассматривать как меру того, в какой степени сохраняется механическая энергия, когда объект отскакивает от поверхности. В случае отражения объекта от неподвижной цели изменение гравитационно потенциальная энергия, PE, во время удара практически ноль; таким образом, ${displaystyle C_ {R}}$ представляет собой сравнение кинетической энергии, KE, объекта непосредственно перед ударом и сразу после удара:

${displaystyle C_ {R} = {sqrt {frac {KE_ {ext {(после удара)}}} {KE_ {ext {(до удара)}}}}} = {sqrt {frac {{frac {1} {2 }} mv ^ {2}} {{frac {1} {2}} mu ^ {2}}}} = {sqrt {frac {v ^ {2}} {u ^ {2}}}} = {frac {v} {u}}}$

В тех случаях, когда силами трения можно пренебречь (почти каждая студенческая лаборатория по этому предмету^[9]), и объект падает из состояния покоя на горизонтальную поверхность, приведенное выше эквивалентно сравнению между PE объекта на высоте падения и на высоте отскока. В этом случае изменение KE равно нулю (объект по существу находится в состоянии покоя во время удара, а также покоится на вершине отскока); таким образом:

${displaystyle C_ {R} = {sqrt {frac {PE_ {ext {(на высоте отскока)}}} {PE_ {ext {(на высоте падения)}}}}} = {sqrt {frac {mgh} {mgH} }} = {sqrt {frac {h} {H}}}}$

Скорости после удара

Уравнения для столкновений между упругими частицами можно модифицировать для использования COR, таким образом, они становятся применимыми к неупругим столкновениям, а также любой возможности между ними.

${displaystyle v_ {a} = {frac {m_ {ext {a}} u_ {ext {a}} + m_ {ext {b}} u_ {ext {b}} + m_ {ext {b}} C_ {R) } (u_ {ext {b}} - u_ {ext {a}})} {m_ {ext {a}} + m_ {ext {b}}}}}$

и

${displaystyle v_ {ext {b}} = {frac {m_ {ext {a}} u_ {ext {a}} + m_ {ext {b}} u_ {ext {b}} + m_ {ext {a}}) C_ {R} (u_ {ext {a}} - u_ {ext {b}})} {m_ {ext {a}} + m_ {ext {b}}}}}$

куда

${displaystyle v_ {ext {a}}}$ - конечная скорость первого объекта после удара

${displaystyle v_ {ext {b}}}$ - конечная скорость второго объекта после удара

${displaystyle u_ {ext {a}}}$ - начальная скорость первого объекта до удара

${displaystyle u_ {ext {b}}}$ - начальная скорость второго объекта до удара

${displaystyle m_ {ext {a}}}$ масса первого объекта

${displaystyle m_ {ext {b}}}$ это масса второго объекта

Вывод

Приведенные выше уравнения могут быть получены из аналитического решения система уравнений сформированный определением COR и законом сохранение импульса (что справедливо для всех столкновений). Используя обозначения сверху, где ${displaystyle u}$ представляет скорость до столкновения и ${displaystyle v}$ после дает:

${displaystyle {egin {align} & m_ {ext {a}} u_ {ext {a}} + m_ {ext {b}} u_ {ext {b}} = m_ {ext {a}} v_ {ext {a} } + m_ {ext {b}} v_ {ext {b}} & C_ {R} = {frac {left | v_ {ext {b}} - v_ {ext {a}} ight |} {left | u_ { ext {a}} - u_ {ext {b}} ight |}} end {align}}}$

Решение уравнения сохранения импульса для ${displaystyle v_ {ext {a}}}$ и определение коэффициента реституции для ${displaystyle v_ {ext {b}}}$ дает:

${displaystyle {egin {align} & {frac {m_ {ext {a}} u_ {ext {a}}} + m_ {ext {b}} u_ {ext {b}} - m_ {ext {b}} v_ { ext {b}}} {m_ {ext {a}}}} = v_ {ext {a}} & v_ {ext {b}} = C_ {R} (u_ {ext {a}} - u_ {ext { b}}) + v_ {ext {a}} end {align}}}$

Затем подставляем в первое уравнение для ${displaystyle v_ {ext {b}}}$ а затем разрешить ${displaystyle v_ {ext {a}}}$ дает:

${displaystyle {egin {align} & {frac {m_ {ext {a}} u_ {ext {a}}} + m_ {ext {b}} u_ {ext {b}} - m_ {ext {b}} C_ { R} (u_ {ext {a}} - u_ {ext {b}}) - m_ {ext {b}} v_ {ext {a}}} {m_ {ext {a}}}} = v_ {ext { a}} & & {frac {m_ {ext {a}} u_ {ext {a}} + m_ {ext {b}} u_ {ext {b}} + m_ {ext {b}} C_ {R } (u_ {ext {b}} - u_ {ext {a}})} {m_ {ext {a}}}} = v_ {ext {a}} left [1+ {frac {m_ {ext {b}] }} {m_ {ext {a}}}} ight] & & {frac {m_ {ext {a}} u_ {ext {a}} + m_ {ext {b}} u_ {ext {b}} + m_ {ext {b}} C_ {R} (u_ {ext {b}} - u_ {ext {a}})} {m_ {ext {a}} + m_ {ext {b}}}} = v_ {доб {а}} конец {выровнено}}}$

Аналогичный вывод дает формулу для ${displaystyle v_ {ext {b}}}$.

Изменение COR из-за формы объекта и столкновений не по центру

Когда сталкивающиеся объекты не имеют направления движения, которое соответствует их центрам тяжести и точке удара, или если их контактные поверхности в этой точке не перпендикулярны этой линии, некоторая энергия, которая была бы доступна для столба -разница скоростей столкновения будет потеряна из-за вращения и трения. Потери энергии на вибрацию и возникающий в результате звук обычно незначительны.

Столкновение разных материалов и практическое измерение

Когда мягкий объект ударяется о более твердый объект, большая часть энергии, доступной для скорости после столкновения, будет храниться в мягком объекте. COR будет зависеть от того, насколько эффективно мягкий объект сохраняет энергию сжатия, не теряя ее из-за нагрева и пластической деформации. Резиновый шар будет лучше отскакивать от бетона, чем стеклянный, но COR у стекла по стеклу намного выше, чем у резины по резине, потому что часть энергии резины теряется на тепло, когда она сжимается. Когда резиновый мяч сталкивается со стеклянным шаром, COR будет полностью зависеть от резины. По этой причине определение COR материала, когда нет идентичного материала для столкновения, лучше всего выполнять с использованием гораздо более твердого материала.

Поскольку не существует абсолютно жесткого материала, для твердых материалов, таких как металлы и керамика, теоретически их COR определяется с учетом столкновения между идентичными сферами. На практике 2-мяч Колыбель Ньютона может использоваться, но такая установка не способствует быстрому тестированию образцов.

В Испытание на твердость отскока по Leeb - единственный общедоступный тест, связанный с определением COR. В нем используется наконечник из карбида вольфрама, одного из самых твердых доступных материалов, который падает на испытательные образцы с определенной высоты. Но форма наконечника, скорость удара и карбид вольфрама - все это переменные, которые влияют на результат, который выражается в единицах 1000 * COR. Он не дает объективного COR для материала, независимого от теста.

Подробное исследование коэффициентов восстановления в зависимости от свойств материала (модулей упругости, реологии), направления удара, коэффициента трения и адгезионных свойств ударных тел можно найти в.^[10]

Прогнозирование по свойствам материала

COR не является свойством материала, потому что он изменяется в зависимости от формы материала и специфики столкновения, но его можно предсказать, исходя из свойств материала и скорости удара, когда особенности столкновения упрощены. Чтобы избежать осложнений, связанных с потерями на вращение и трение, мы можем рассмотреть идеальный случай идентичной пары сферических объектов, сталкивающихся так, что их центры масс и относительная скорость находятся на одной линии.

Многие материалы, такие как металлы и керамика (но не каучуки и пластмассы), считаются идеально эластичными, если их предел текучести не достигается при ударе. Энергия удара теоретически сохраняется только в пружинном эффекте упругого сжатия и приводит к е = 1. Но это применимо только при скоростях от 0,1 до 1 м / с. Диапазон упругости может быть превышен при более высоких скоростях, поскольку вся кинетическая энергия сосредоточена в точке удара. В частности, предел текучести обычно превышается на части площади контакта, теряется энергия из-за пластической деформации, так как не остается в упругой области. Чтобы учесть это, нижеследующее оценивает COR путем оценки процента начальной энергии удара, которая не была потеряна из-за пластической деформации. Примерно он делит то, насколько легко объем материала может хранить энергию при сжатии (${displaystyle 1 / {ext {модуль упругости}}}$) тем, насколько хорошо он может оставаться в диапазоне упругости (${displaystyle 1 / {ext {предел текучести}}}$):

${displaystyle \% {ext {энергия удара, доступная для восстановления}} propto {frac {ext {предел текучести}} {ext {модуль упругости}}}}$

Для заданной плотности и скорости материала это приводит к:

${displaystyle {ext {коэффициент восстановления}} propto {sqrt {frac {ext {предел текучести}} {ext {модуль упругости}}}}}$

Высокий предел текучести позволяет большей части «контактного объема» материала оставаться в упругой области при более высоких энергиях. Более низкий модуль упругости позволяет увеличивать площадь контакта во время удара, поэтому энергия распределяется по большему объему под поверхностью в точке контакта. Это помогает предотвратить превышение предела текучести.

Более точная теоретическая разработка^[11] показывает, что скорость и плотность материала также важны при прогнозировании COR при умеренных скоростях, более быстрых, чем упругое столкновение (более 0,1 м / с для металлов), и медленнее, чем большая остаточная пластическая деформация (менее 100 м / с). Более низкая скорость увеличивает коэффициент, так как требуется меньше энергии для поглощения. Более низкая плотность также означает, что требуется меньше энергии для поглощения. Плотность вместо массы используется потому, что объем сферы компенсируется объемом затронутого объема в области контакта. Таким образом, радиус сферы не влияет на коэффициент. Пара сталкивающихся сфер разного размера, но из одного материала имеет тот же коэффициент, что и ниже, но умноженный на ${displaystyle left ({frac {R_ {1}} {R_ {2}}} ight) ^ {frac {3} {8}}}$

Комбинируя эти четыре переменные, можно получить теоретическую оценку коэффициента восстановления, когда мяч падает на поверхность из того же материала.^[12]

• е = коэффициент реституции
• S_у = динамический предел текучести (динамический «предел упругости»)
• E′ = Эффективный модуль упругости
• ρ = плотность
• v = скорость при ударе
• μ = Коэффициент Пуассона

${displaystyle e = 3.1left ({frac {S_ {ext {y}}} {1}} ight) ^ {frac {5} {8}} left ({frac {1} {E '}} ight) ^ { frac {1} {2}} left ({frac {1} {v}} ight) ^ {frac {1} {4}} left ({frac {1} {ho}} ight) ^ {frac {1} {8}}}$

${displaystyle E '= {frac {E} {1-mu ^ {2}}}}$

Это уравнение переоценивает фактическое значение COR. Для металлов это применяется, когда v составляет приблизительно от 0,1 м / с до 100 м / с и, как правило, когда:

${displaystyle 0,001 <{frac {ho v ^ {2}} {S_ {ext {y}}}} <0,1}$

При более низких скоростях COR выше, чем предсказывает приведенное выше уравнение, теоретически достигая e = 1, когда указанная выше доля меньше, чем ${displaystyle 10 ^ {- 6}}$ РС. Это дает следующий теоретический коэффициент восстановления для твердых сфер, упавших на 1 метр (v = 4,5 м / с). Значения больше 1 указывают на наличие ошибок в уравнении. Вместо динамического предела текучести использовался предел текучести.

COR для пластиков и каучуков выше их фактических значений, поскольку они не ведут себя так идеально эластично, как металлы, стекло и керамика, из-за нагрева во время сжатия. Итак, нижеследующее - это только руководство по ранжированию полимеров.

Полимеры (завышено по сравнению с металлами и керамикой):

• полибутадиен (оболочка мячей для гольфа)
• бутилкаучук
• EVA
• силиконовые эластомеры
• поликарбонат
• нейлон
• полиэтилен
• Тефлон
• полипропилен
• АБС
• акрил
• ДОМАШНИЙ ПИТОМЕЦ
• полистирол
• ПВХ

Для металлов диапазон скоростей, к которым применима эта теория, составляет от 0,1 до 5 м / с, что составляет падение от 0,5 мм до 1,25 метра (стр. 366).^[13]).

Смотрите также

• Прыгающий мяч
• Столкновение
• Устойчивость

Рекомендации

Процитированные работы

внешняя ссылка

• Статья Wolfram о COR
• Беннет и Мипагала (2006). «Коэффициенты реституции». Книга фактов по физике.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
• Введение в физику Криса Хеккера
• "Получение дополнительной подпрыгивания" от Челси Уолд
• Концепции качества ФИФА для футбола - равномерный отскок
• Боули, Роджер (2009). «Коэффициент реституции». Шестьдесят символов. Брэди Харан для Ноттингемский университет.