Критерий неприводимости Кона - Википедия - Cohns irreducibility criterion

Критерий неприводимости Артура Кона является достаточным условием для многочлен быть несводимый в ${ Displaystyle mathbb {Z} [х]}$ - то есть, чтобы его нельзя было преобразовать в произведение многочленов низшей степени с целыми коэффициентами.

Критерий часто формулируется следующим образом:

Если простое число ${ displaystyle p}$ выражается в основание 10 как ${ displaystyle p = a_ {m} 10 ^ {m} + a_ {m-1} 10 ^ {m-1} + cdots + a_ {1} 10 + a_ {0}}$ (куда ${ displaystyle 0 leq a_ {i} leq 9}$), то многочлен

${ displaystyle f (x) = a_ {m} x ^ {m} + a_ {m-1} x ^ {m-1} + cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$

неприводимо в ${ Displaystyle mathbb {Z} [х]}$.

Теорема может быть обобщена на другие базисы следующим образом:

Предположить, что ${ displaystyle b geq 2}$ натуральное число и ${ displaystyle p (x) = a_ {k} x ^ {k} + a_ {k-1} x ^ {k-1} + cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$ - многочлен такой, что ${ displaystyle 0 leq a_ {i} leq b-1}$. Если ${ displaystyle p (b)}$ простое число, тогда ${ displaystyle p (x)}$ неприводимо в ${ Displaystyle mathbb {Z} [х]}$.

Версия теоремы по основанию 10 приписана Кону Pólya и Сегё в одной из их книг^[1] а обобщение на любую базу б принадлежит Бриллхарту, Filaseta, и Одлызко.^[2]

В 2002, Рам Мурти дал упрощенное доказательство, а также некоторую историю теоремы в статье, доступной в Интернете.^[3]

Обратное к этому критерию состоит в том, что если п является неприводимым многочленом с целыми коэффициентами, имеющими наибольший общий делитель 1, то существует такая база, что коэффициенты п формируют представление простого числа в этой базе; это Гипотеза Буняковского и его правда или ложь остается открытым вопросом.

Исторические заметки

• Поля и Сегу дали свое собственное обобщение, но оно имеет много побочных условий (например, в отношении расположения корней).^{[нужна цитата ]} поэтому ему не хватает элегантности обобщений Брилхарта, Филазеты и Одлызко.
• Из контекста ясно, что «А. Кон», упомянутый Поля и Сегё, - это Артур Кон (1894–1940), ученик Иссай Шур который получил докторскую степень от Университет Фредерика Уильяма в 1921 г.^[4][5]

Смотрите также

• Критерий Эйзенштейна
• Критерий неприводимости Перрона

Рекомендации

внешняя ссылка

• «Критерий неприводимости А. Кона». PlanetMath.