Матрица коммутации - Commutation matrix

В математика, особенно в линейная алгебра и матричная теория, то матрица коммутации используется для преобразования векторизованный форма матрица в векторизованную форму своего транспонировать. В частности, матрица коммутации K^{(м, п)} это нм × мин матрица, которая для любого м × п матрица А, преобразует vec (А) в vec (А^Т):

K^{(м, п)} vec (А) = vec (А^Т) .

Здесь vec (А) это мин × 1 вектор столбца получить, сложив столбцы А друг на друга:

vec (А) = [ А_1,1, ..., А_{м, 1}, А_1,2, ..., А_{м, 2}, ..., А_{1, п}, ..., А_{м, н} ]^Т

куда А = [А_{я, j}].

Матрица коммутации - это особый тип матрица перестановок, и поэтому ортогональный. Замена А с А^Т в определении матрицы коммутации показывает, что K^{(м, п)} = (K^{(п, м)})^Т. Поэтому в частном случае m = n матрица коммутации - это инволюция и симметричный.

Основное использование матрицы коммутации и источник ее названия - коммутировать Кронекер продукт: для каждого м × п матрица А и каждый г × д матрица B,

K^{(г, м)}(А ${displaystyle otimes}$ B)K^{(п, д)} = B ${displaystyle otimes}$ А.

Он широко используется при разработке статистики более высокого порядка ковариационных матриц Уишарта.^[1]

Явный вид матрицы коммутации следующий: если е_{r, j} обозначает j-й канонический вектор размерности р (т.е. вектор с 1 в j-й координате и 0 в другом месте), то

K^{(г, м)} = ${displaystyle sum _ {i = 1} ^ {r}}$${displaystyle sum _ {j = 1} ^ {m}}$(е_{г, я}е_{м, дж}^Т)${displaystyle otimes}$(е_{м, дж}е_{г, я}^Т).

Пример

Позволять M - квадратная матрица 2x2.

${displaystyle mathbf {M} = {egin {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix}}}$

Тогда у нас есть

${displaystyle operatorname {vec} (mathbf {M}) = {egin {bmatrix} a c b d end {bmatrix}}}$

И K^(2,2) квадратная матрица 4x4, которая преобразует vec (M) в vec (M^Т)

${displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 end {bmatrix}} cdot {egin {bmatrix} a c b d end {bmatrix}} = {egin {bmatrix} a b c d end {bmatrix}} = имя оператора {vec} (mathbf {M} ^ {T})}$

Как для квадратных, так и для прямоугольных матриц ${displaystyle M {ext {rows and}} N}$ столбцы, матрица коммутации может быть сгенерирована с помощью этого универсального псевдокода, который похож на статью на StackExchange.com^[2] и наглядно дает правильный результат, хотя представлен без доказательств.

 для i = от 1 до M для j = 1 до N K (i + M * (j - 1), j + N * (i - 1)) = 1 конец конец

Таким образом, следующие ${displaystyle 3 imes 2 {ext {matrix}} A}$ имеет две возможные векторизации:

${displaystyle A = {egin {bmatrix} 1 & 4 2 & 5 3 & 6 end {bmatrix}}, ;;;; V1 = mathbf {vec (A)} = {egin {bmatrix} 1 2 3 4 5 6 end {bmatrix}}, ;;;;; V2 = mathbf {vec (A ^ {T})} = {egin {bmatrix} 1 4 2 5 3 6 end {bmatrix}}}$

и приведенный выше код дает

${Displaystyle К = {Egin {bmatrix} 1 & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & 1 & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & 1 & CDOT & CDOT & 1 & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & 1 & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & CDOT & 1 & end {bmatrix}}}$

давая ожидаемые результаты

${displaystyle K ^ {T} K = KK ^ {T} = mathbf {I} _ {6 imes 6}}$

${displaystyle K ^ {T} имеет значение V1 = V2}$

${displaystyle K imes V2 = V1}$

Рекомендации

• Ян Р. Магнус и Хайнц Нойдекер (1988), Матричное дифференциальное исчисление с приложениями в статистике и эконометрике, Wiley.

Этот линейная алгебра -связанная статья является заглушка. Вы можете помочь Википедии расширяя это.