Непрерывные полиномы q-Эрмита - Википедия - Continuous q-Hermite polynomials

В математике непрерывный q-Полиномы Эрмита представляют собой семейство основных гипергеометрических ортогональные многочлены в основном Схема Askey. Рулоф Коэкоек, Питер А. Лески и Рене Ф. Свартту (2010, 14) дают подробный перечень их свойств.

Определение

Полиномы заданы в терминах основные гипергеометрические функции и Символ Поххаммера.

Повторяемость и разностные отношения

${ Displaystyle 2xH_ {n} (x mid q) = H_ {n + 1} (x mid q) + (1-q ^ {n}) H_ {n-1} (x mid q)}$

с начальными условиями

${ displaystyle H_ {0} (x mid q) = 1, H _ {- 1} (x mid q) = 0}$

Из вышесказанного легко вычислить:

${ displaystyle { begin {align} H_ {0} (x mid q) & = 1 H_ {1} (x mid q) & = 2x H_ {2} (x mid q) & = 4x ​​^ {2} - (1-q) H_ {3} (x mid q) & = 8x ^ {3} -2x (2-qq ^ {2}) H_ {4} (x mid q) & = 16x ^ {4} -4x ^ {2} (3-qq ^ {2} -q ^ {3}) + (1-qq ^ {3} + q ^ {4}) end {выровнено}}}$

Формула Родригеса

Этот раздел пуст. Вы можете помочь добавляя к этому. (Сентябрь 2011 г.)

Производящая функция

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} H_ {n} (x mid q) { frac {t ^ {n}} {(q; q) _ {n}}} = { frac {1} { left (te ^ {i theta}, te ^ {- i theta}; q right) _ { infty}}}}$

куда ${ Displaystyle textstyle х = соз тета}$.

Связь с другими многочленами

Этот раздел пуст. Вы можете помочь добавляя к этому. (Сентябрь 2011 г.)

Рекомендации

• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Базовый гипергеометрический ряд, Энциклопедия математики и ее приложений, 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета, Дои:10.2277/0521833574, ISBN  978-0-521-83357-8, МИСТЕР  2128719
• Коэкоек, Рулоф; Лески, Питер А .; Сварттоу, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные многочлены и их q-аналоги, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN  978-3-642-05013-8, МИСТЕР  2656096
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S.C .; Коэкоек, Рулоф; Сварттоу, Рене Ф. (2010), http://dlmf.nist.gov/18 | URL-адрес вклада = отсутствует заголовок (помощь), в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, МИСТЕР  2723248