Обратная теорема - Converse theorem

В математической теории автоморфные формы, а обратная теорема дает достаточные условия для Серия Дирихле быть Преобразование Меллина модульной формы. В более общем смысле обратная теорема утверждает, что представление алгебраической группы над аделями автоморфно, если L-функции различных его поворотов хорошо себя ведут.

Обратная теорема Вейля

Первые обратные теоремы были доказаны Гамбургер  (1921 ) кто охарактеризовал Дзета-функция Римана по его функциональному уравнению, и по Гекке (1936) кто показал, что если ряд Дирихле удовлетворяет определенное функциональное уравнение и некоторые условия роста тогда это было Преобразование Меллина из модульная форма уровня 1. Вейль (1967) нашел расширение для модульных форм более высокого уровня, которое было описано Огг (1969, глава V). Расширение Вейля утверждает, что если бы не только ряд Дирихле

${ displaystyle L (s) = sum { frac {a_ {n}} {n ^ {s}}}}$

но и его изюминки

${ displaystyle L _ { chi} (s) = sum { frac { chi (n) a_ {n}} {n ^ {s}}}}$

некоторыми Персонажи Дирихле χ, удовлетворяют подходящим функциональным уравнениям, связывающим значения при s и 1−s, то ряд Дирихле по сути является преобразованием Меллина модулярной формы некоторого уровня.

Высшие измерения

Дж. У. Когделл, Х. Жаке, И. И. Пятецкий-Шапиро и Дж. Шалика распространили обратную теорему на автоморфные формы некоторых многомерных групп, в частности GL_п и GL_м× GL_п, в длинной серии статей.

Рекомендации

• Cogdell, Джеймс У .; Пятецкий-Шапиро И. И. (1994), "Обратные теоремы для GL_п", Публикации Mathématiques de l'IHÉS, 79 (79): 157–214, Дои:10.1007 / BF02698889, ISSN  1618-1913, МИСТЕР  1307299
• Cogdell, Джеймс У .; Пятецкий-Шапиро И. И. (1999), "Обратные теоремы для GL._п. II ", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 507 (507): 165–188, Дои:10.1515 / crll.1999.507.165, ISSN  0075-4102, МИСТЕР  1670207
• Cogdell, Джеймс У .; Пятецкий-Шапиро И. И. (2002), «Обратные теоремы, функториальность и приложения к теории чисел», в Ли, Тациен (ред.), Труды Международного конгресса математиков, Vol. II (Пекин, 2002 г.), Пекин: Высшее изд. Press, стр. 119–128, arXiv:математика / 0304230, Bibcode:2003математика ...... 4230C, ISBN  978-7-04-008690-4, МИСТЕР  1957026
• Когделл, Джеймс У. (2007), "L-функции и обратные теоремы для GL_п", в Сарнаке, Питер; Шахиди, Фрейдун (ред.), Автоморфные формы и приложения, IAS / Park City Math. Сер., 12, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, стр. 97–177, ISBN  978-0-8218-2873-1, МИСТЕР  2331345
• Гамбург, Ганс (1921), "Убер ди Риманнше Функциональные функции", Mathematische Zeitschrift, 10 (3): 240–254, Дои:10.1007 / BF01211612, ISSN  0025-5874
• Hecke, E. (1936), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch ihre Funktionalgleichung", Mathematische Annalen, 112 (1): 664–699, Дои:10.1007 / BF01565437, ISSN  0025-5831
• Огг, Эндрю (1969), Модульные формы и серия Дирихле, W. A. ​​Benjamin, Inc., Нью-Йорк-Амстердам, МИСТЕР  0256993
• Вайль, Андре (1967), "Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen", Mathematische Annalen, 168: 149–156, Дои:10.1007 / BF01361551, ISSN  0025-5831, МИСТЕР  0207658

внешняя ссылка

• Работы Когделла по обратным теоремам