Теория коорбит - Coorbit theory

В математике теория коорбиты был разработан Ганс Георг Файхтингер и Карлхайнц Грёчениг около 1990 года.^[1]^[2]^[3] Он обеспечивает теорию атомного разложения ряда Банаховы пространства из распределения. Среди прочего, хорошо зарекомендовавшие себя вейвлет-преобразование и кратковременное преобразование Фурье покрыты теорией.

Отправной точкой является квадратично интегрируемое представление ${ displaystyle pi}$ из локально компактная группа ${ Displaystyle { mathcal {G}}}$ на Гильбертово пространство ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ , с помощью которого можно определить преобразование функции ${ displaystyle f in { mathcal {H}}}$ относительно ${ displaystyle g in { mathcal {H}}}$ к ${ Displaystyle V_ {g} е (х) = langle f, pi (x) g rangle}$ . Многие важные преобразования являются частными случаями преобразования, например кратковременное преобразование Фурье и вейвлет-преобразование для Группа Гейзенберга и аффинная группа соответственно. Теория представлений дает воспроизводящую формулу ${ displaystyle V_ {g} f = V_ {g} f * V_ {g} g}$ . Дискретизацией этого непрерывного свертка интеграл можно показать, что с помощью достаточно плотной выборки в фазовом пространстве соответствующие функции будут охватывать систему отсчета для гильбертова пространства.

Важным аспектом теории является вывод атомных разложений для банаховых пространств. Одним из ключевых шагов является определение преобразования голоса для распределений естественным образом. Для данного банахова пространства ${ displaystyle Y}$ , соответствующее пространство коорбит определяется как множество всех распределений таких, что ${ displaystyle V_ {g} f in Y}$ . Формула воспроизведения верна и в этом случае, и поэтому можно получить атомарные разложения для пространств коорбит.

Рекомендации

^ Х. Г. Файхтингер и К. Грёчениг. «Единый подход к атомным разложениям через представления интегрируемых групп» Lect. Заметки по математике. 1302: 52–73, 1988.
^ Х. Г. Файхтингер и К. Грёчениг. «Банаховы пространства, связанные с интегрируемыми представлениями групп и их атомарными разложениями, I» J. Funct. Анальный. 86 (2): 307–340, 1989.
^ Х. Г. Файхтингер и К. Грёчениг. «Банаховы пространства, связанные с интегрируемыми представлениями групп и их атомными разложениями, II» Монатш. Математика. 108 (2-3): 129–148, 1989.

[1] Х. Г. Файхтингер и К. Грёчениг. «Единый подход к атомным разложениям через представления интегрируемых групп» Lect. Заметки по математике. 1302: 52–73, 1988.

[2] Х. Г. Файхтингер и К. Грёчениг. «Банаховы пространства, связанные с интегрируемыми представлениями групп и их атомарными разложениями, I» J. Funct. Анальный. 86 (2): 307–340, 1989.

[3] Х. Г. Файхтингер и К. Грёчениг. «Банаховы пространства, связанные с интегрируемыми представлениями групп и их атомными разложениями, II» Монатш. Математика. 108 (2-3): 129–148, 1989.

[1]

[2]

[3]