Циклический модуль - Википедия - Cyclic module

В математика, более конкретно в теория колец, а циклический модуль или же моногенный модуль[1] это модуль над кольцом который создается одним элементом. Концепция аналогична циклическая группа, это группа который создается одним элементом.

Определение

Левый р-модуль M называется циклический если M могут быть созданы одним элементом, т.е. M = (Икс) = Rx = {rx | р ∈ р} для некоторых Икс в M. Точно так же право р-модуль N циклично, если N = год для некоторых у ∈ N.

Примеры

  • 2Z как Z-модуль - циклический модуль.
  • Фактически, каждый циклическая группа циклический Z-модуль.
  • Каждый просто р-модуль M является циклическим модулем, поскольку подмодуль генерируется любым ненулевым элементом Икс из M обязательно весь модуль M. В общем, модуль прост тогда и только тогда, когда он не равен нулю и порождается каждым из своих ненулевых элементов.[2]
  • Если кольцо р рассматривается как левый модуль над собой, то его циклические подмодули - это в точности его левый модуль. главные идеалы как кольцо. То же самое и для р как право р-модуль, mutatis mutandis.
  • Если р является F[Икс], кольцо многочленов через поле F, и V является р-модуль, который также является конечномерный векторное пространство над F, то Иорданские блоки из Икс действующий на V - циклические подмодули. (Иорданские блоки все изоморфный к F[Икс] / (Икс − λ)п; также могут быть другие циклические подмодули с разными аннигиляторы; Смотри ниже.)

Характеристики

  • Учитывая циклический р-модуль M который создается Икссуществует канонический изоморфизм между M и р / Аннар Икс, куда Аннар Икс обозначает аннигилятор Икс в р.
  • Каждый модуль представляет собой сумму циклических подмодулей.[3]

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Бурбаки, Алгебра I: главы 1–3, п. 220
  2. ^ Андерсон и Фуллер, Сразу после предложения 2.7.
  3. ^ Андерсон и Фуллер, Предложение 2.7.