Система управления на основе данных - Data-driven control system

Системы управления на основе данных большая семья Системы управления, в которой идентификация модели процесса и / или конструкции контроллера полностью основаны на экспериментальные данные собраны с завода.^[1]

Во многих приложениях управления попытка написать математическую модель завода считается сложной задачей, требующей усилий и времени от инженеров-технологов и инженеров по управлению. Эта проблема решается управляемый данными методы, позволяющие подогнать модель системы к собранным экспериментальным данным, выбрав ее в конкретный класс моделей. Затем инженер по управлению может использовать эту модель для разработки подходящего контроллера для системы. Однако по-прежнему сложно найти простую, но надежную модель физической системы, которая включала бы только те динамические характеристики системы, которые представляют интерес для спецификаций управления. В непосредственный Методы, управляемые данными, позволяют настраивать контроллер, принадлежащий к данному классу, без необходимости идентифицировать модель системы. Таким образом, можно просто взвесить интересующую динамику процесса внутри функции затрат на управление и исключить те динамики, которые не представляют интереса.

Обзор

В стандарт Подход к проектированию систем управления состоит из двух этапов:

Идентификация модели направлена на оценку номинальной модели системы. ${ displaystyle { widehat {G}} = G left (q; { widehat { theta}} _ {N} right)}$ , куда ${ displaystyle q}$ - оператор единичной задержки (для представления передаточных функций с дискретным временем) и ${ displaystyle { widehat { theta}} _ {N}}$ - вектор параметров ${ displaystyle G}$ идентифицированы по набору ${ displaystyle N}$ данные. Тогда проверка состоит в построении набор неопределенности ${ displaystyle Gamma}$ который содержит истинную систему ${ displaystyle G_ {0}}$ на определенном уровне вероятности.
Дизайн контроллера направлен на поиск контроллера ${ displaystyle C}$ достижение стабильности с обратной связью и выполнение требуемых характеристик с ${ displaystyle { widehat {G}}}$ .

Типичные цели идентификация системы должны иметь ${ displaystyle { widehat {G}}}$ как можно ближе к ${ displaystyle G_ {0}}$ , и иметь ${ displaystyle Gamma}$ как можно меньше. Однако из идентификация для контроля В перспективе, действительно важна производительность, достигаемая контроллером, а не внутреннее качество модели.

Один из способов справиться с неопределенностью - разработать контроллер, который будет иметь приемлемую производительность со всеми моделями в ${ displaystyle Gamma}$ , включая ${ displaystyle G_ {0}}$ . Это основная идея надежный контроль Процедура проектирования, которая направлена на построение описаний неопределенности процесса в частотной области. Однако, будучи основанным на предположениях наихудшего случая, а не на идее усреднения шума, этот подход обычно приводит к консервативный наборы неопределенности. Скорее, методы, основанные на данных, имеют дело с неопределенностью, работая с экспериментальными данными и избегая чрезмерного консервативизма.

Далее представлены основные классификации систем управления, управляемых данными.

Косвенные и прямые методы

Существует множество методов управления системами. Основное различие между косвенный и непосредственный методы проектирования контроллеров. Первая группа техник все еще сохраняет стандартный двухэтапный подход, т.е. Сначала идентифицируется модель, затем на ее основе настраивается контроллер. Основная проблема при этом заключается в том, что контроллер рассчитывается на основе оценочной модели. ${ displaystyle { widehat {G}}}$ (согласно достоверность эквивалентности принцип), но на практике ${ displaystyle { widehat {G}} neq G_ {0}}$ . Чтобы решить эту проблему, идея последней группы методов состоит в отображении экспериментальных данных. напрямую на контроллер, без какой-либо модели между ними.

Итерационные и безитеративные методы

Еще одно важное различие между итеративный и безытерационный (или же один выстрел) методы. В первой группе необходимы повторные итерации для оценки параметров регулятора, в течение которых проблема оптимизации выполняется на основе результатов предыдущей итерации, и ожидается, что оценка будет становиться все более и более точной на каждой итерации. Этот подход также может быть реализован в интерактивном режиме (см. Ниже). В последней группе параметризация (оптимального) регулятора обеспечивается единственной оптимизационной задачей. Это особенно важно для тех систем, в которых итерации или повторения экспериментов по сбору данных ограничены или даже не разрешены (например, из-за экономических аспектов). В таких случаях следует выбрать метод проектирования, позволяющий поставить контроллер на одном наборе данных. Этот подход часто реализуется в автономном режиме (см. Ниже).

Он-лайн и оф-лайн методы

Поскольку в практических промышленных приложениях данные с разомкнутым или замкнутым циклом часто доступны постоянно, онлайн методы, управляемые данными, используют эти данные для улучшения качества идентифицированной модели и / или производительности контроллера каждый раз, когда на предприятии собирается новая информация. Вместо, не в сети подходы работают с пакетом данных, который может собираться только один раз или несколько раз через регулярный (но довольно длинный) интервал времени.

Настройка итеративной обратной связи

Метод итеративной настройки с обратной связью (IFT) был введен в 1994 г.^[2] исходя из наблюдения, что при идентификации для управления каждая итерация основана на (неправильном) принципе эквивалентности достоверности.

IFT - это безмодельный метод прямой итеративной оптимизации параметров регулятора фиксированного порядка; такие параметры могут быть последовательно обновлены с использованием информации, поступающей из стандартной (замкнутой) работы системы.

Позволять ${ displaystyle y ^ {d}}$ быть желательными выходными сигналом для опорного сигнала ${ displaystyle r}$ ; ошибка между достигнутым и желаемым ответом составляет ${ Displaystyle { тильда {y}} ( rho) = y ( rho) -y ^ {d}}$ . Цель дизайна управления может быть сформулирована как минимизация целевой функции:

{ Displaystyle J ( rho) = { frac {1} {2N}} sum _ {t = 1} ^ {N} E left [{ tilde {y}} (t, rho) ^ { 2} right].}

С учетом целевой функции, которую необходимо минимизировать, квазиньютоновский метод может применяться, т.е. минимизация на основе градиента с использованием поиска по градиенту типа:

{ displaystyle rho _ {i + 1} = rho _ {i} - gamma _ {i} R_ {i} ^ {- 1} { frac {d { widehat {J}}} {d rho}} ( rho _ {i}).}

Значение ${ displaystyle gamma _ {я}}$ размер шага, ${ displaystyle R_ {i}}$ - подходящая положительно определенная матрица и ${ displaystyle { frac {d { widehat {J}}} {d rho}}}$ аппроксимация градиента; истинное значение градиента определяется следующим образом:

{ displaystyle { frac {dJ} {d rho}} ( rho) = { frac {1} {N}} sum _ {t = 1} ^ {N} left [{ tilde {y }} (t, rho) { frac { delta y} { delta rho}} (t, rho) right].}

Значение ${ displaystyle { frac { delta y} { delta rho}} (t, rho)}$ получается с помощью следующей трехэтапной методологии:

Нормальный эксперимент: Проведите эксперимент в замкнутой системе с ${ Displaystyle C ( rho)}$ как контролер и ${ displaystyle r}$ как ссылки; собрать N измерений выхода ${ Displaystyle у ( ро)}$ , обозначенный как ${ Displaystyle у ^ {(1)} ( ро)}$ .
Градиентный эксперимент: проведите эксперимент в замкнутой системе с ${ Displaystyle C ( rho)}$ как контроллер и 0 как ссылка ${ displaystyle r}$ ; вводить сигнал ${ Displaystyle г-у ^ {(1)} ( ро)}$ так что он суммируется с выходом управляющей переменной ${ Displaystyle C ( rho)}$ , идущий как вход в завод. Соберите результат, обозначенный как ${ Displaystyle у ^ {(2)} ( ро)}$ .
В качестве приближения градиента возьмем следующее: ${ displaystyle { frac { delta { widehat {y}}} { delta rho}} ( rho) = { frac { delta C} { delta rho}} ( rho) y ^ {(2)} ( rho)}$ .

Решающим фактором для скорости сходимости алгоритма является выбор ${ displaystyle R_ {i}}$ ; когда ${ displaystyle { tilde {y}}}$ мала, хорошим выбором будет приближение, заданное направлением Гаусса – Ньютона:

{ displaystyle R_ {i} = { frac {1} {N}} sum _ {t = 1} ^ {N} { frac { delta { widehat {y}}} { delta rho} } ( rho _ {i}) { frac { delta { widehat {y}} ^ {T}} { delta rho}} ( rho _ {i}).}

Безытерационная настройка на основе корреляции

Безытерационная настройка на основе корреляции (nCbT) - это безитеративный метод настройки на основе данных контроллера с фиксированной структурой.^[3] Он предоставляет одноразовый метод прямого синтеза контроллера на основе одного набора данных.

Предположим, что ${ displaystyle G}$ обозначает неизвестное устойчивое к LTI растение SISO, ${ displaystyle M}$ определяемая пользователем эталонная модель и ${ displaystyle F}$ определяемая пользователем весовая функция. Контроллер фиксированного порядка LTI обозначается как ${ Displaystyle К ( rho) = бета ^ {T} rho}$ , куда ${ displaystyle rho in mathbb {R} ^ {n}}$ , и ${ displaystyle beta}$ - вектор базисных функций LTI. Ну наконец то, ${ displaystyle K ^ {*}}$ идеальный LTI-контроллер любой конструкции, гарантирующий работу с обратной связью ${ displaystyle M}$ когда применяется к ${ displaystyle G}$ .

Цель состоит в том, чтобы минимизировать следующую целевую функцию:

{ Displaystyle J ( rho) = left | F { bigg (} { frac {K ^ {*} GK ( rho) G} {(1 + K ^ {*} G) ^ {2} }} { bigg)} right | _ {2} ^ {2}.}

${ Displaystyle J ( rho)}$ является выпуклой аппроксимацией целевой функции, полученной из эталонной задачи модели, предполагая, что ${ displaystyle { frac {1} {(1 + K ( rho) G)}} приблизительно { frac {1} {(1 + K ^ {*} G)}}}$ .

Когда ${ displaystyle G}$ является стабильной и минимально-фазовой, приближенная эталонная задача модели эквивалентна минимизации нормы ${ Displaystyle varepsilon (т)}$ в схеме на рисунке.

Идея в том, что когда грамм является стабильной и минимальной фазой, приближенная эталонная задача модели эквивалентна минимизации нормы

{ displaystyle varepsilon}

.

Входной сигнал ${ Displaystyle г (т)}$ должен быть постоянно возбуждающим входным сигналом и ${ Displaystyle v (т)}$ для создания стабильного механизма генерации данных. Таким образом, в эксперименте с разомкнутым контуром два сигнала не коррелируют; следовательно, идеальная ошибка ${ Displaystyle varepsilon (т, rho ^ {*})}$ не коррелирует с ${ Displaystyle г (т)}$ . Таким образом, цель управления состоит в том, чтобы найти ${ displaystyle rho}$ такой, что ${ Displaystyle г (т)}$ и ${ Displaystyle varepsilon (т, rho ^ {*})}$ некоррелированы.

Вектор инструментальные переменные ${ Displaystyle zeta (т)}$ определяется как:

{ displaystyle zeta (t) = [r_ {W} (t + ell _ {1}), r_ {W} (t + ell _ {1} -1), ldots, r_ {W} (t) , ldots, r_ {W} (t- ell _ {1})] ^ {T}}

куда ${ displaystyle ell _ {1}}$ достаточно большой и ${ Displaystyle r_ {W} (t) = Wr (t)}$ , куда ${ displaystyle W}$ - подходящий фильтр.

Корреляционная функция:

{ displaystyle f_ {N, ell _ {1}} ( rho) = { frac {1} {N}} sum _ {t = 1} ^ {N} zeta (t) varepsilon (t , rho)}

и проблема оптимизации становится:

{ displaystyle { widehat { rho}} = { underset { rho in D_ {k}} { operatorname {arg , min}}} J_ {N, ell _ {1}} ( rho ) = { underset { rho in D_ {k}} { operatorname {arg , min}}} f_ {N, ell _ {1}} ^ {T} f_ {N, ell _ {1 }}.}

Обозначая ${ displaystyle phi _ {r} ( omega)}$ спектр ${ Displaystyle г (т)}$ , можно показать, что при некоторых предположениях, если ${ displaystyle W}$ выбрано как:

{ Displaystyle W (е ^ {- j omega}) = { гидроразрыва {F (e ^ {- j omega}) (1-M (e ^ {- j omega}))} { phi _ {r} ( omega)}}}

тогда выполняется следующее:

{ displaystyle lim _ {N, ell _ {1} to infty, ell _ {1} / N to infty} { widehat { rho}} = rho ^ {*}.}

Ограничение стабильности

Нет гарантии, что контроллер ${ displaystyle K}$ что сводит к минимуму ${ displaystyle J_ {N, ell _ {1}}}$ стабильно. Неустойчивость может возникнуть в следующих случаях:

Если ${ displaystyle G}$ не минимальная фаза, ${ displaystyle K ^ {*}}$ может привести к сокращению в правой половине комплексной плоскости.
Если ${ displaystyle K ^ {*}}$ (даже если стабилизация) недостижима, ${ Displaystyle К ( rho)}$ может не стабилизировать.
Из-за шума измерения, даже если ${ Displaystyle К ^ {*} = К ( rho)}$ стабилизируется, по оценкам данных ${ Displaystyle { widehat {K}} ( rho)}$ не может быть так.

Рассмотрим стабилизирующий контроллер ${ displaystyle K_ {s}}$ и передаточная функция с обратной связью ${ displaystyle M_ {s} = { frac {K_ {s} G} {1 + K_ {s} G}}}$ .Определять:

{ Displaystyle Delta ( rho): = M_ {s} -K ( rho) G (1-M_ {s})}

{ displaystyle delta ( rho): = left | Delta ( rho) right | _ { infty}.}

Теорема

Контроллер ${ Displaystyle К ( rho)}$ стабилизирует растение ${ displaystyle G}$ если

${ displaystyle Delta ( rho)}$ стабильно
${ Displaystyle существует дельта _ {N} in (0,1)}$ s.t. ${ displaystyle delta ( rho) leq delta _ {N}.}$

Условие 1. применяется, когда:

${ Displaystyle К ( rho)}$ стабильно
${ Displaystyle К ( rho)}$ содержит интегратор (отменен).

Эталонный проект модели с ограничением устойчивости становится:

{ displaystyle rho _ {s} = { underset { rho in D_ {k}} { operatorname {arg , min}}} J ( rho)}

{ displaystyle { text {s.t. }} delta ( rho) leq delta _ {N}.}

А выпуклая оценка на основе данных из ${ displaystyle delta ( rho)}$ можно получить через дискретное преобразование Фурье.

Определите следующее:

{ displaystyle { begin {align} & { widehat {R}} _ {r} ( tau) = { frac {1} {N}} sum _ {t = 1} ^ {N} r ( t- tau) r (t) { text {for}} tau = - ell _ {2}, ldots, ell _ {2} [4pt] & { widehat {R}} _ {r varepsilon} ( tau) = { frac {1} {N}} sum _ {t = 1} ^ {N} r (t- tau) varepsilon (t, rho) { text {for}} tau = - ell _ {2}, ldots, ell _ {2}. end {align}}}

За стабильные растения с минимальной фазой, следующее выпуклая задача оптимизации, управляемая данными дано:

{ displaystyle { begin {align} { widehat { rho}} & = { underset { rho in D_ {k}} { operatorname {arg , min}}} J_ {N, ell _ {1}} ( rho) [3pt] & { text {st}} [3pt] & { bigg |} sum _ { tau = - ell _ {2}} ^ { ell _ {2}} { widehat {R}} _ {r varepsilon} ( tau, rho) e ^ {- j tau omega _ {k}} { bigg |} leq delta _ {N} { bigg |} sum _ { tau = - ell _ {2}} ^ { ell _ {2}} { widehat {R}} _ {r} ( tau, rho) e ^ {- j tau omega _ {k}} { bigg |} [4pt] omega _ {k} & = { frac {2 pi k} {2 ell _ {2} + 1}}, qquad k = 0, ldots, ell _ {2} +1. End {выравнивается}}}

Настройка обратной связи виртуального эталона

Настройка с обратной связью по виртуальному эталону (VRFT) - это неитеративный метод настройки контроллера с фиксированной структурой на основе данных. Он предоставляет одноразовый метод прямого синтеза контроллера на основе одного набора данных.

VRFT был впервые предложен в ^[4] а затем распространен на системы LPV.^[5] VRFT также основывается на идеях, представленных в ^[6] в качестве ${ displaystyle VRD ^ {2}}$ .

Основная идея - определить желаемую модель замкнутого цикла. ${ displaystyle M}$ и использовать его обратную динамику для получения виртуальной ссылки ${ Displaystyle r_ {v} (т)}$ от измеренного выходного сигнала ${ Displaystyle у (т)}$ .

Основная идея состоит в том, чтобы определить желаемую модель замкнутого контура M и использовать ее обратную динамику для получения виртуального эталона из измеренного выходного сигнала y.

Виртуальные сигналы ${ displaystyle r_ {v} (t) = M ^ {- 1} y (t)}$ и ${ displaystyle e_ {v} (t) = r_ {v} (t) -y (t).}$

Оптимальный регулятор получается из бесшумных данных путем решения следующей задачи оптимизации:

{ displaystyle { widehat { rho}} _ { infty} = { underset { rho} { operatorname {arg , min}}} lim _ {N to infty} J_ {vr} ( rho)}

где функция оптимизации задается следующим образом:

{ Displaystyle J_ {vr} ^ {N} ( rho) = { frac {1} {N}} sum _ {t = 1} ^ {N} left (u (t) -K ( rho ) e_ {v} (t) right) ^ {2}.}

внешняя ссылка

Набор инструментов VRFT для MATLAB

[1] Базанелла, А.С., Кампестрини, Л., Экхард, Д. (2012). Дизайн контроллера, управляемого данными: ${ displaystyle H_ {2}}$ подход. Спрингер, ISBN 978-94-007-2300-9, 208 с.

[2] Хьялмарссон, Х., Геверс, М., Гуннарссон, С., и Лекин, О. (1998). Настройка итерационной обратной связи: теория и приложения. Системы управления IEEE, 18 (4), 26–41.

[3] ван Хейсден, К., Карими, А. и Бонвин, Д. (2011), Управляемая данными эталонная модель с асимптотически гарантированной стабильностью. Int. J. Adapt. Процесс управляющего сигнала., 25: 331–351. Дои:10.1002 / acs.1212

[4] Кампи, Марко К., Андреа Леккини и Серджио М. Савареси. «Настройка виртуальной эталонной обратной связи: прямой метод разработки контроллеров обратной связи». Automatica 38.8 (2002): 1337–1346.

[5] Форментин, С., Пига, Д., Тот, Р., и Савареси, С. М. (2016). Прямое обучение контроллеров LPV по данным. Автоматика, 65, 98–110.

[6] Гуардабасси, Гвидо О. и Серхио М. Савареси. «Приближенная линеаризация с обратной связью нелинейных систем с дискретным временем с использованием прямого виртуального ввода». Письма о системах и управлении 32.2 (1997): 63–74.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]