Суточная свертка - Day convolution

В математике, особенно в теория категорий, Суточная свертка это операция на функторы это можно рассматривать как категоризованный версия свертка функций. Впервые он был представлен Брайаном Дэем в 1970 году. ^[1] в общем контексте обогащенный категории функторов. Суточная свертка действует как тензорное произведение для моноидальная категория структура на категории функторов ${ displaystyle [ mathbf {C}, V]}$ над некоторой моноидальной категорией ${ displaystyle V}$ .

Определение

Позволять ${ displaystyle ( mathbf {C}, otimes _ {c})}$ - моноидальная категория, обогащенная над симметричной моноидальной замкнутой категорией ${ displaystyle (V, otimes)}$ . Учитывая два функтора ${ Displaystyle F, G двоеточие mathbf {C} to V}$ , мы определяем их дневную свертку как коенд.^[2]

{ Displaystyle F otimes _ {d} G = int ^ {x, y in mathbf {C}} mathbf {C} (x otimes _ {c} y, -) otimes Fx otimes Gy }

Если ${ displaystyle otimes _ {c}}$ симметрично, то ${ displaystyle otimes _ {d}}$ также симметричен. Мы можем показать, что это определяет ассоциативное моноидальное произведение.

{ displaystyle { begin {align} & (F otimes _ {d} G) otimes _ {d} H [5pt] cong {} & int ^ {c_ {1}, c_ {2} } (F otimes _ {d} G) c_ {1} otimes Hc_ {2} otimes mathbf {C} (c_ {1} otimes _ {c} c_ {2}, -) [5pt ] cong {} & int ^ {c_ {1}, c_ {2}} left ( int ^ {c_ {3}, c_ {4}} Fc_ {3} otimes Gc_ {4} otimes mathbf {C} (c_ {3} otimes _ {c} c_ {4}, c_ {1}) right) otimes Hc_ {2} otimes mathbf {C} (c_ {1} otimes _ { c} c_ {2}, -) [5pt] cong {} & int ^ {c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}, c_ {4}} Fc_ {3} otimes Gc_ {4} otimes Hc_ {2} otimes mathbf {C} (c_ {3} otimes _ {c} c_ {4}, c_ {1}) otimes mathbf {C} (c_ {1} otimes _ {c} c_ {2}, -) [5pt] cong {} & int ^ {c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}, c_ {4}} Fc_ {3} otimes Gc_ {4} otimes Hc_ {2} otimes mathbf {C} (c_ {3} otimes _ {c} c_ {4} otimes _ {c} c_ {2}, -) [ 5pt] cong {} & int ^ {c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}, c_ {4}} Fc_ {3} otimes Gc_ {4} otimes Hc_ {2} otimes mathbf {C} (c_ {2} otimes _ {c} c_ {4}, c_ {1}) otimes mathbf {C} (c_ {3} otimes _ {c} c_ {1}, -) [5pt] cong {} & int ^ {c_ {1} c_ {3}} Fc_ {3} otimes (G otimes _ {d} H) c_ {1} otimes mathbf {C} (c_ {3} otimes _ {c} c_ {1}, -) [5pt] cong {} & F otimes _ {d} (G otimes _ {d} H) end {align}}}

использованная литература

^ День, Брайан (1970). «О замкнутых категориях функторов». Отчеты семинара IV категории Среднего Запада, Конспект лекций по математике. 139: 1–38.
^ Лорегиан, Фоско (2015). «Это (со) конец, мой единственный (со) друг». п. 51. arXiv:1501.02503 [math.CT ].

внешние ссылки

https://ncatlab.org/nlab/show/Day+convolution

[1] День, Брайан (1970). «О замкнутых категориях функторов». Отчеты семинара IV категории Среднего Запада, Конспект лекций по математике. 139: 1–38.

[2] Лорегиан, Фоско (2015). «Это (со) конец, мой единственный (со) друг». п. 51. arXiv:1501.02503 [math.CT ].

[1]

[2]