Алгоритм Де Бурса - Википедия - De Boors algorithm

в математический подполе числовой анализ алгоритм де Бура^[1] - полиномиальное время и численно стабильный алгоритм для оценки сплайновые кривые в B-шлиц форма. Это обобщение алгоритм де Кастельжау за Кривые Безье. Алгоритм был разработан Карл Р. де Бур. Были созданы упрощенные, потенциально более быстрые варианты алгоритма де Бура, но они страдают сравнительно меньшей стабильностью.^[2]^[3]

Вступление

Общее введение в B-сплайны дано в основная статья. Здесь мы обсуждаем алгоритм де Бура, эффективную и численно стабильную схему для оценки сплайн-кривой. ${ Displaystyle mathbf {S} (х)}$ на позиции ${ displaystyle x}$ . Кривая строится из суммы B-сплайновых функций ${ Displaystyle B_ {я, р} (х)}$ умноженный на потенциально векторные константы ${ Displaystyle mathbf {c} _ {я}}$ , называемые контрольными точками,

{ displaystyle mathbf {S} (x) = sum _ {i} mathbf {c} _ {i} B_ {i, p} (x).}

B-шлицы порядка ${ displaystyle p + 1}$ являются связными кусочно-полиномиальными функциями степени ${ displaystyle p}$ определяется сеткой узлов ${ displaystyle {t_ {0}, dots, t_ {i}, dots, t_ {m}}}$ (в дальнейшем мы всегда используем индексы, начинающиеся с нуля). Алгоритм Де Бура использует О (п²) + О (p) операции для оценки сплайновой кривой. Обратите внимание основная статья о B-шлицах и классические публикации^[1] используйте другое обозначение: B-сплайн индексируется как ${ Displaystyle B_ {я, п} (х)}$ с ${ Displaystyle п = р + 1}$ .

Местная поддержка

B-сплайны имеют локальную опору, что означает, что полиномы положительны только в конечной области и равны нулю в других местах. Формула рекурсии Кокса-де Бура^[4] показывает это:

{ Displaystyle B_ {я, 0} (х): = left {{ begin {matrix} 1 & mathrm {if} quad t_ {i} leq x

{ Displaystyle В_ {я, р} (х): = { гидроразрыва {х-т_ {я}} {т_ {я + р} -т_ {я}}} В_ {я, р-1} (х) + { frac {t_ {i + p + 1} -x} {t_ {i + p + 1} -t_ {i + 1}}} B_ {i + 1, p-1} (x).}

Пусть индекс ${ displaystyle k}$ определить интервал узла, который содержит позицию, ${ Displaystyle х в [t_ {k}, t_ {k + 1})}$ . Из формулы рекурсии видно, что только B-сплайны с ${ Displaystyle я = к-р, точки, к}$ отличны от нуля на этом интервале узлов. Таким образом, сумма сводится к:

{ displaystyle mathbf {S} (x) = sum _ {i = k-p} ^ {k} mathbf {c} _ {i} B_ {i, p} (x).}

Это следует из ${ displaystyle i geq 0}$ который ${ displaystyle k geq p}$ . Точно так же мы видим в рекурсии, что местоположение самого высокого запрошенного узла находится в индексе ${ Displaystyle к + 1 + р}$ . Это означает, что любой интервал узлов ${ Displaystyle [т_ {к}, т_ {к + 1})}$ который фактически используется, должен иметь как минимум ${ displaystyle p}$ дополнительные узлы до и после. В компьютерной программе это обычно достигается путем повторения первого и последнего использованного местоположения узла. ${ displaystyle p}$ раз. Например, для ${ displaystyle p = 3}$ и реальные места узлов ${ Displaystyle (0,1,2)}$ , можно было бы добавить вектор узла к ${ displaystyle (0,0,0,0,1,2,2,2,2)}$ .

Алгоритм

С этими определениями мы можем теперь описать алгоритм де Бура. Алгоритм не вычисляет B-сплайн-функции. ${ Displaystyle В_ {я, р} (х)}$ напрямую. Вместо этого он оценивает ${ Displaystyle mathbf {S} (х)}$ через эквивалентную формулу рекурсии.

Позволять ${ Displaystyle mathbf {d} _ {я, г}}$ быть новыми контрольными точками с ${ Displaystyle mathbf {d} _ {я, 0}: = mathbf {c} _ {я}}$ за ${ Displaystyle я = к-р, точки, к}$ . За ${ displaystyle r = 1, dots, p}$ применяется следующая рекурсия:

{ Displaystyle mathbf {d} _ {я, г} = (1- альфа _ {я, г}) mathbf {d} _ {я-1, г-1} + альфа _ {я, г } mathbf {d} _ {i, r-1}; quad i = k-p + r, dots, k}

{ displaystyle alpha _ {i, r} = { frac {x-t_ {i}} {t_ {i + 1 + p-r} -t_ {i}}}.}

После завершения итераций у нас есть ${ Displaystyle mathbf {S} (х) = mathbf {d} _ {k, p}}$ , означающий, что ${ displaystyle mathbf {d} _ {k, p}}$ желаемый результат.

Алгоритм Де Бура более эффективен, чем явный расчет B-сплайнов. ${ Displaystyle B_ {я, р} (х)}$ с формулой рекурсии Кокса-де Бора, поскольку она не вычисляет члены, которые гарантированно умножаются на ноль.

Оптимизация

Вышеупомянутый алгоритм не оптимизирован для реализации на компьютере. Требуется память для ${ displaystyle (p + 1) + p + dots + 1 = (p + 1) (p + 2) / 2}$ временные контрольные точки ${ Displaystyle mathbf {d} _ {я, г}}$ . Каждая временная контрольная точка записывается ровно один раз и читается дважды. Путем обращения итерации на ${ displaystyle i}$ (обратный отсчет вместо восходящего), мы можем запустить алгоритм с памятью всего за ${ displaystyle p + 1}$ временные контрольные точки, позволяя ${ Displaystyle mathbf {d} _ {я, г}}$ повторно использовать память для ${ displaystyle mathbf {d} _ {я, r-1}}$ . Точно так же есть только одно значение ${ displaystyle alpha}$ используется на каждом шаге, поэтому мы также можем повторно использовать память.

Кроме того, удобнее использовать индекс, отсчитываемый от нуля. ${ displaystyle j = 0, dots, p}$ для временных контрольных точек. Отношение к предыдущему индексу: ${ displaystyle i = j + k-p}$ . Таким образом, мы получаем улучшенный алгоритм:

Позволять ${ displaystyle mathbf {d} _ {j}: = mathbf {c} _ {j + k-p}}$ за ${ displaystyle j = 0, dots, p}$ . Итерация для ${ displaystyle r = 1, dots, p}$ :

{ displaystyle mathbf {d} _ {j}: = (1- alpha _ {j}) mathbf {d} _ {j-1} + alpha _ {j} mathbf {d} _ {j }; quad j = p, dots, r quad}

(

{ displaystyle j}

нужно вести обратный отсчет)

{ displaystyle alpha _ {j}: = { frac {x-t_ {j + k-p}} {t_ {j + 1 + k-r} -t_ {j + k-p}}}.}

После завершения итераций результат будет ${ Displaystyle mathbf {S} (х) = mathbf {d} _ {p}}$ .

Пример реализации

Следующий код в Язык программирования Python наивная реализация оптимизированного алгоритма.

def деБур(k: int, Икс: int, т, c, п: int):    "" "Оценивает S (x).    Аргументы    ---------    k: Индекс узлового интервала, который содержит x.    x: Позиция.    t: массив позиций узлов, необходимо дополнить, как описано выше.    c: массив контрольных точек.    p: Степень B-сплайна.    """    d = [c[j + k - п] за j в классифицировать(0, п + 1)]    за р в классифицировать(1, п + 1):        за j в классифицировать(п, р - 1, -1):            альфа = (Икс - т[j + k - п]) / (т[j + 1 + k - р] - т[j + k - п])            d[j] = (1.0 - альфа) * d[j - 1] + альфа * d[j]    возвращаться d[п]

Смотрите также

внешняя ссылка

Компьютерный код

PPPACK: содержит много сплайновых алгоритмов в Фортран
Научная библиотека GNU: C-библиотека, содержит вспомогательную библиотеку для сплайнов, перенесенных из PPPACK
SciPy: Python-библиотека, содержит подбиблиотеку scipy.interpolate со сплайн-функциями на основе ФИТПАК
TinySpline: C-библиотека для сплайнов с оболочкой C ++ и привязками для C #, Java, Lua, PHP, Python и Ruby
Einspline: C-библиотека для сплайнов в 1, 2 и 3 измерениях с оболочками Fortran