Dual of BCH - независимый источник - Dual of BCH is an independent source

Определенная семья Коды BCH обладают особенно полезным свойством, которое рассматривается как линейные операторы, их дуальные операторы превращает их вклад в ${displaystyle ell}$-Мудрый независимый источник. То есть набор векторов из входа векторное пространство отображаются на ${displaystyle ell}$разумно независимый источник. Доказательство этого факта ниже в виде следующей леммы и следствия полезно при дерандомизации алгоритма для ${displaystyle 1-2 ^ {- ell}}$-приближение к МАКСЭКСАТ.

Лемма

Позволять ${displaystyle Csubseteq F_ {2} ^ {n}}$ линейный код такой, что ${displaystyle C ^ {perp}}$ имеет расстояние больше, чем ${displaystyle ell +1}$. потом ${displaystyle C}$ является ${displaystyle ell}$разумно независимый источник.

Доказательство леммы

Достаточно показать, что при любом ${displaystyle k imes l}$ матрица M, куда k Больше или равно л, такие что ранг M является л, для всех ${displaystyle xin F_ {2} ^ {k}}$, ${displaystyle xM}$ принимает каждое значение в ${displaystyle F_ {2} ^ {l}}$ такое же количество раз.

С M имеет звание л, мы можем написать M как две матрицы одинакового размера, ${displaystyle M_ {1}}$ и ${displaystyle M_ {2}}$, куда ${displaystyle M_ {1}}$ имеет ранг, равный л. Это означает, что ${displaystyle xM}$ можно переписать как ${displaystyle x_ {1} M_ {1} + x_ {2} M_ {2}}$ для некоторых ${displaystyle x_ {1}}$ и ${displaystyle x_ {2}}$.

Если мы рассмотрим M написано относительно основы, где первый л строки - единичная матрица, тогда ${displaystyle x_ {1}}$ везде есть нули ${displaystyle M_ {2}}$ имеет ненулевые строки, и ${displaystyle x_ {2}}$ везде есть нули ${displaystyle M_ {1}}$ имеет ненулевые строки.

Теперь любое значение у, куда ${displaystyle y = xM}$, можно записать как ${displaystyle x_ {1} M_ {1} + x_ {2} M_ {2}}$ для некоторых векторов ${displaystyle x_ {1}, x_ {2}}$.

Мы можем переписать это как:

${displaystyle x_ {1} M_ {1} = y-x_ {2} M_ {2}}$

Фиксация стоимости последнего ${displaystyle k-l}$ координаты${displaystyle x_ {2} в F_ {2} ^ {k}}$ (обратите внимание, что есть ровно ${displaystyle 2 ^ {k-l}}$такой выбор), мы можем снова переписать это уравнение как:

${displaystyle x_ {1} M_ {1} = b}$ для некоторых б.

С ${displaystyle M_ {1}}$ имеет ранг, равный л, есть ровно одно решение ${displaystyle x_ {1}}$, поэтому общее количество решений ровно ${displaystyle 2 ^ {k-l}}$, доказывая лемму.

Следствие

Напомним, что BCH_2,м,d является ${displaystyle [n = 2 ^ {m}, n-1-lceil {d-2} / 2ceil m, d] _ {2}}$ линейный код.

Позволять ${displaystyle C ^ {perp}}$ быть BCH_{2, журналп,ℓ+1}. потом ${displaystyle C}$ является ${displaystyle ell}$разумно независимый источник размера ${displaystyle O (n ^ {lfloor ell / 2floor})}$.

Доказательство следствия

Измерение d из C просто ${displaystyle lceil {(ell + 1-2) / {2}} ceil log n + 1}$. Так ${displaystyle d = lceil {(ell -1)} / 2ceil log n + 1 = lfloor ell / 2floor log n + 1}$.

Итак, мощность ${displaystyle C}$ рассматривается как набор просто${displaystyle 2 ^ {d} = O (n ^ {lfloor ell / 2floor})}$, доказывая Следствие.

Рекомендации

Заметки по теории кодирования в Университете Буффало

Заметки по теории кодирования в MIT