Двойная полная корреляция - Википедия - Dual total correlation

Эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом. Пожалуйста помоги улучшить статью к обеспечение большего контекста для читателя. (Февраль 2012 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В теория информации, двойная полная корреляция (Хан 1978), скорость передачи информации (Дубнов 2006), избыточная энтропия (Olbrich 2008), или обязательная информация (Abdallah and Plumbley 2010) - одно из нескольких известных неотрицательных обобщений взаимная информация. Пока полная корреляция ограничена суммой энтропий п элементов двойственная полная корреляция ограничена совместной энтропией п элементы. Несмотря на хорошее поведение, двойной полной корреляции уделяется гораздо меньше внимания, чем полной корреляции. Мера, известная как «TSE-сложность», определяет континуум между полной корреляцией и двойной полной корреляцией (Ay 2001).

Определение

Диаграмма Венна теоретико-информационных мер для трех переменных x, y и z. Двойная полная корреляция представлена ​​объединением трех взаимных данных и показана на диаграмме желтой, пурпурной, голубой и серой областями.

Для набора п случайные переменные ${ Displaystyle {X_ {1}, ldots, X_ {n} }}$двойная полная корреляция ${ Displaystyle D (X_ {1}, ldots, X_ {n})}$ дан кем-то

${ Displaystyle D (X_ {1}, ldots, X_ {n}) = H left (X_ {1}, ldots, X_ {n} right) - sum _ {i = 1} ^ {n } H left (X_ {i} mid X_ {1}, ldots, X_ {i-1}, X_ {i + 1}, ldots, X_ {n} right),}$

куда ${ Displaystyle H (X_ {1}, ldots, X_ {n})}$ это совместная энтропия набора переменных ${ Displaystyle {X_ {1}, ldots, X_ {n} }}$ и ${ displaystyle H (X_ {i} mid cdots)}$ это условная энтропия переменной ${ displaystyle X_ {i}}$, учитывая остальное.

Нормализованный

Двойная общая корреляция, нормализованная между [0,1], представляет собой просто двойную общую корреляцию, деленную на ее максимальное значение. ${ Displaystyle H (X_ {1}, ldots, X_ {n})}$,

${ Displaystyle ND (X_ {1}, ldots, X_ {n}) = { frac {D (X_ {1}, ldots, X_ {n})} {H (X_ {1}, ldots, X_ {n})}}.}$

Границы

Двойная полная корреляция неотрицательна и ограничена сверху совместной энтропией ${ Displaystyle H (X_ {1}, ldots, X_ {n})}$.

${ displaystyle 0 leq D (X_ {1}, ldots, X_ {n}) leq H (X_ {1}, ldots, X_ {n}).}$

Во-вторых, двойная полная корреляция тесно связана с полной корреляцией, ${ Displaystyle C (X_ {1}, ldots, X_ {n})}$. Особенно,

${ displaystyle { frac {C (X_ {1}, ldots, X_ {n})} {n-1}} leq D (X_ {1}, ldots, X_ {n}) leq (n -1) ; C (X_ {1}, ldots, X_ {n}).}$

Отношение к другим величинам

В теоретическая мера термины, по определению двойной полной корреляции:

${ displaystyle D (X_ {1}, ldots, X_ {n}) = mu left ( bigcup _ {i} { tilde {X}} _ {i} setminus left ( bigcup _ { j} { tilde {X}} _ {j} setminus bigcup _ {k neq j} { tilde {X}} _ {k}) right) right)}$

что равно объединению попарных взаимных сведений:

${ displaystyle D (X_ {1}, ldots, X_ {n}) = mu left ( bigcup _ {i} bigcup _ {j neq i} left ({ tilde {X}} _ {i} cap { tilde {X}} _ {j} right) right)}$

История

Хан (1978) первоначально определил двойную полную корреляцию как

${ Displaystyle { begin {align} & D (X_ {1}, ldots, X_ {n}) [10pt] Equiv {} & left [ sum _ {i = 1} ^ {n} H (X_ {1}, ldots, X_ {i-1}, X_ {i + 1}, ldots, X_ {n}) right] - (n-1) ; H (X_ {1}, ldots, X_ {n}) ;. end {align}}}$

Однако Абдалла и Пламбли (2010) продемонстрировали его эквивалентность более простой для понимания форме совместной энтропии за вычетом суммы условных энтропий посредством следующего:

${ Displaystyle { begin {align} & D (X_ {1}, ldots, X_ {n}) [10pt] Equiv {} & left [ sum _ {i = 1} ^ {n} H (X_ {1}, ldots, X_ {i-1}, X_ {i + 1}, ldots, X_ {n}) right] - (n-1) ; H (X_ {1}, ldots, X_ {n}) = {} & left [ sum _ {i = 1} ^ {n} H (X_ {1}, ldots, X_ {i-1}, X_ {i + 1 }, ldots, X_ {n}) right] + (1-n) ; H (X_ {1}, ldots, X_ {n}) = {} & H (X_ {1}, ldots , X_ {n}) + left [ sum _ {i = 1} ^ {n} H (X_ {1}, ldots, X_ {i-1}, X_ {i + 1}, ldots, X_ {n}) - H (X_ {1}, ldots, X_ {n}) right] = {} & H left (X_ {1}, ldots, X_ {n} right) - sum _ {i = 1} ^ {n} H left (X_ {i} mid X_ {1}, ldots, X_ {i-1}, X_ {i + 1}, ldots, X_ {n} справа) ;. end {выровнено}}}$

Смотрите также

• Взаимная информация
• Общая корреляция

Эта статья включает Список ссылок, связанное чтение или внешняя ссылка, но его источники остаются неясными, потому что в нем отсутствует встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Июнь 2011 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

Рекомендации

• Хан Т. С. (1978). Неотрицательные энтропийные меры многомерных симметричных корреляций, Информация и контроль 36, 133–156.
• Фудзишигэ Сатору (1978). Полиматроидная структура зависимости набора случайных величин, Информация и контроль 39, 55–72. Дои:10.1016 / S0019-9958 (78) 91063-X.
• Дубнов С. (2006). Призрачные ожидания, Компьютерный музыкальный журнал, 30(2):63–83.
• Ольбрих, Э., Бертчингер, Н., Эй, Н. и Йост, Дж. (2008). Как сложность должна масштабироваться с размером системы ?, The European Physical Journal B - Конденсированные вещества и сложные системы. Дои:10.1140 / epjb / e2008-00134-9.
• Абдалла С. А. и Пламбли М. Д. (2010). Мера статистической сложности, основанная на прогнозной информации, Электронные отпечатки ArXiv. arXiv:1012.1890v1.
• Нихат Ай, Э. Ольбрих, Н. Берчингер (2001). Объединяющая основа для мер сложности конечных систем. Европейская конференция по сложным системам. pdf.