Набор Edge Dominating - Википедия - Edge dominating set
В теория графов, набор с доминирующим краем для графика г = (V, E) является подмножеством D ⊆ E так что каждый край не в D примыкает хотя бы к одному ребру в D. Набор с преобладанием ребер также известен как набор доминирующих линий. Рисунки (a) - (d) представляют собой примеры множеств с преобладанием ребер (толстые красные линии).
А минимальный набор доминирующих краев - множество с преобладанием наименьшего ребра. Рисунки (a) и (b) являются примерами минимальных множеств с преобладанием ребер (можно проверить, что для этого графа нет множества с преобладанием ребер размера 2).
Свойства
Набор с доминирующим краем для г это доминирующий набор для своего линейный график L(г) и наоборот.
Любые максимальное соответствие всегда является множеством с преобладанием ребра. Рисунки (b) и (d) являются примерами максимального соответствия.
Кроме того, размер минимального набора с преобладанием ребер равен размеру минимальное максимальное соответствие. Минимальное максимальное соответствие - это минимальное множество с преобладанием ребер; Рисунок (b) представляет собой пример минимального максимального соответствия. Минимальный набор с преобладанием ребер не обязательно является минимальным максимальным соответствием, как показано на рисунке (а); однако, учитывая минимальный набор доминирующих ребер D, легко найти минимальное максимальное соответствие с |D| ребра (см., например, Яннакакис и Гаврил 1980 ).
Алгоритмы и вычислительная сложность
Определение того, существует ли множество с преобладанием ребер заданного размера для данного графа, является НП-полный проблема (и, следовательно, нахождение минимального набора с преобладанием ребер является NP-жесткий проблема). Яннакакис и Гаврил (1980) показать, что задача NP-полна даже в случае двудольный граф с максимальной степенью 3, а также в случае планарный граф с максимальной степенью 3.
Существует простое полиномиальное время алгоритм аппроксимации с коэффициентом приближения 2: найдите любое максимальное соответствие. Максимальное соответствие - это множество с преобладанием ребер; кроме того, максимальное соответствие M может быть в худшем случае в 2 раза больше, чем наименьшее максимальное соответствие, а наименьшее максимальное соответствие имеет тот же размер, что и наименьшее множество с преобладанием ребер.
Также взвешенная по краям версия задачи может быть аппроксимирована с точностью до множителя 2, но алгоритм значительно сложнее (Фудзито и Нагамочи 2002; Парех 2002 ).
Хлебик и Хлебикова (2006) показать, что найти приближение лучше, чем (7/6), NP-сложно.
использованная литература
- Аузиелло, Джорджио; Крещенци, Пьерлуиджи; Гамбози, Джорджио; Канн, Вигго; Маркетти-Спаккамела, Альберто; Протаси, Марко (2003), Сложность и аппроксимация: задачи комбинаторной оптимизации и их свойства аппроксимируемости, Springer.
- Набор минимальных доминирующих ребер (оптимизационная версия) - это задача GT3 в Приложении B (стр. 370).
- Минимальное максимальное соответствие (оптимизационная версия) - это проблема GT10 в Приложении B (стр. 374).
- Хлебик, Мирослав; Хлебикова, Янка (2006), «Аппроксимационная твердость решаемых задач с преобладанием кромок», Журнал комбинаторной оптимизации, 11 (3): 279–290, Дои:10.1007 / s10878-006-7908-0.
- Гарей, Майкл Р.; Джонсон, Дэвид С. (1979), Компьютеры и непреодолимость: руководство по теории NP-полноты, W.H. Фриман, ISBN 978-0-7167-1045-5.
- Множество с преобладанием ребер (вариант решения) обсуждается в рамках задачи о доминирующем множестве, которой является проблема GT2 в Приложении A1.1.
- Минимальное максимальное соответствие (вариант решения) - это проблема GT10 в Приложении A1.1.
- Яннакакис, Михалис; Гаврил, Фаника (1980), "Множества с преобладанием ребер в графах", Журнал SIAM по прикладной математике, 38 (3): 364–372, CiteSeerX 10.1.1.477.4278, Дои:10.1137/0138030, JSTOR 2100648.
- Фудзито, Тошихиро; Нагамочи, Хироши (2002), "2-аппроксимационный алгоритм для задачи о множестве доминирования ребер минимального веса", Дискретная прикладная математика, 118 (3): 199–207, Дои:10.1016 / S0166-218X (00) 00383-8.
- Парех, Оджас (2002), "Наборы с доминирующим краем и гипоматрицы", Материалы тринадцатого ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам, стр. 287–291.
внешние ссылки
- Пьерлуиджи Крещенци, Вигго Канн, Магнус Халльдорссон, Марек Карпински, Герхард Вёгингер (2000), «Сборник задач оптимизации НП»: