Восьмивершинная модель - Википедия - Eight-vertex model

В статистическая механика, то восьмивершинная модель является обобщением ледовые (шестивершинные) модели; это обсуждал Сазерленд,^[1] и Фан и Ву,^[2] и решено Бакстер в случае нулевого поля.^[3]

Описание

Как и модели ледяного типа, восьмивершинная модель представляет собой квадратную решетчатая модель, где каждое состояние представляет собой конфигурацию стрелок в вершине. У разрешенных вершин есть четное количество стрелок, указывающих на вершину; к ним относятся шесть, унаследованные от ледовая модель (1-6), стоков и источников (7, 8).

Восемьvertex2

Мы рассматриваем ${ Displaystyle N раз N}$ решетка, с ${ displaystyle N ^ {2}}$ вершины и ${ displaystyle 2N ^ {2}}$ края. Наложение периодических граничных условий требует, чтобы состояния 7 и 8 возникали одинаково часто, как и состояния 5 и 6, и, таким образом, можно считать, что они имеют одинаковую энергию. Для случая нулевого поля то же самое верно и для двух других пар состояний. Каждая вершина ${ displaystyle j}$ имеет связанную энергию ${ displaystyle epsilon _ {j}}$ и Вес Больцмана ${ displaystyle w_ {j} = e ^ {- { frac { epsilon _ {j}} {kT}}}}$ , давая функция распределения над решеткой как

{ displaystyle Z = sum exp left (- { frac { sum _ {j} n_ {j} epsilon _ {j}} {kT}} right)}

где суммирование ведется по всем разрешенным конфигурациям вершин решетки. В этом общем виде статистическая сумма остается нерешенной.

Решение в случае нулевого поля

Случай модели с нулевым полем физически соответствует отсутствию внешних электрических полей. Следовательно, модель остается неизменной при перевороте всех стрелок; состояния 1 и 2, а также 3 и 4, следовательно, должны происходить парами. Вершинам можно присвоить произвольные веса

{ displaystyle { begin {align} w_ {1} = w_ {2} & = a w_ {3} = w_ {4} & = b w_ {5} = w_ {6} & = c w_ {7} = w_ {8} & = d. end {align}}}

Решение основано на наблюдении, что строки в матрицы передачи коммутируют для определенной параметризации этих четырех весов Больцмана. Это произошло как модификация альтернативного решения для шестивершинная модель; он использует эллиптические тета-функции.

Коммутирующие трансфер-матрицы

Доказательство опирается на то, что когда ${ displaystyle Delta '= Delta}$ и ${ Displaystyle Gamma '= Gamma}$ , для количества

{ displaystyle { begin {align} Delta & = { frac {a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2} -d ^ {2}} {2 (ab + cd)}} Гамма & = { frac {ab-cd} {ab + cd}} end {align}}}

матрицы передачи ${ displaystyle T}$ и ${ displaystyle T '}$ (связанный с весами ${ displaystyle a}$ , ${ displaystyle b}$ , ${ displaystyle c}$ , ${ displaystyle d}$ и ${ displaystyle a '}$ , ${ displaystyle b '}$ , ${ displaystyle c '}$ , ${ displaystyle d '}$ ) ездить. С использованием соотношение звезда-треугольник Бакстер переформулировал это условие как эквивалентное параметризации весов, заданных как

{ displaystyle a: b: c: d = operatorname {snh} ( eta -u): operatorname {snh} ( eta + u): operatorname {snh} (2 eta): k operatorname { snh} (2 eta) operatorname {snh} ( eta -u) operatorname {snh} ( eta + u)}

для фиксированного модуля ${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle eta}$ и переменная ${ displaystyle u}$ . Здесь snh - гиперболический аналог sn, задаваемый формулой

{ displaystyle { begin {align} operatorname {snh} (u) & = - i operatorname {snh} (iu) { text {where}} operatorname {snh} (u) & = { гидроразрыв {Н (и)} {к ^ {1/2} Тета (и)}} конец {выровнено}}}

и ${ Displaystyle Н (и)}$ и ${ Displaystyle Theta (и)}$ находятся Эллиптические функции Якоби модуля ${ displaystyle k}$ . Соответствующая матрица переноса ${ displaystyle T}$ таким образом, это функция ${ displaystyle u}$ один; для всех ${ displaystyle u}$ , ${ displaystyle v}$

{ Displaystyle Т (и) Т (v) = Т (v) Т (и).}

Матричная функция ${ displaystyle Q (u)}$

Другой важной частью решения является наличие невырожденной матрично-значной функции ${ displaystyle Q}$ , такое, что для всех сложных ${ displaystyle u}$ матрицы ${ Displaystyle Q (и), Q (и ')}$ коммутируют друг с другом и передаточными матрицами и удовлетворяют

{ Displaystyle zeta (u) T (u) Q (u) = phi (u- eta) Q (u + 2 eta) + phi (u + eta) Q (u-2 eta)}

(1)

куда

{ Displaystyle { begin {align} zeta (u) & = [c ^ {- 1} H (2 eta) Theta (u- eta) Theta (u + eta)] ^ {N} phi (u) & = [ Theta (0) H (u) Theta (u)] ^ {N}. end {выравнивается}}}

Существование и коммутационные отношения такой функции демонстрируются путем рассмотрения парных прохождений через вершину и отношений периодичности тета-функций аналогично модели с шестью вершинами.

Явное решение

Коммутация матриц в (1) позволить им быть диагонализованный, и поэтому собственные значения можно найти. Статистическая сумма вычисляется по максимальному собственному значению, в результате чего получается свободная энергия на сайт

{ displaystyle { begin {align} f = epsilon _ {5} -2kT sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac { sinh ^ {2} (( tau - lambda) n) ( cosh (n lambda) - cosh (n alpha))} {n sinh (2n tau) cosh (n lambda)}} end {выровнено}}}

за

{ displaystyle { begin {align} tau & = { frac { pi K '} {2K}} lambda & = { frac { pi eta} {iK}} alpha & = { frac { pi u} {iK}} end {align}}}

куда ${ displaystyle K}$ и ${ displaystyle K '}$ - полные эллиптические интегралы по модулям ${ displaystyle k}$ и ${ displaystyle k '}$ Восьмивершинная модель также решалась в квазикристаллы.

Эквивалентность модели Изинга

Существует естественное соответствие между восьмивершинной моделью и Модель Изинга с 2-спиновым и 4-спиновым взаимодействиями ближайших соседей. Состояниями этой модели являются спины ${ displaystyle sigma = pm 1}$ на гранях квадратной решетки. Аналогом «ребер» в восьмивершинной модели являются произведения спинов на смежных гранях:

{ displaystyle { begin {align} alpha _ {ij} & = sigma _ {ij} sigma _ {i, j + 1} mu _ {ij} & = sigma _ {ij} сигма _ {я + 1, j}. end {выравнивается}}}

Isingduallattice

Наиболее общий вид энергии для этой модели:

{ displaystyle { begin {align} epsilon & = - sum _ {ij} (J_ {h} mu _ {ij} + J_ {v} alpha _ {ij} + J alpha _ {ij} mu _ {ij} + J ' alpha _ {i + 1, j} mu _ {ij} + J' ' alpha _ {ij} alpha _ {i + 1, j}) end {выровнено }}}

куда ${ displaystyle J_ {h}}$ , ${ displaystyle J_ {v}}$ , ${ displaystyle J}$ , ${ displaystyle J '}$ описывают горизонтальное, вертикальное и два диагональных 2-спиновых взаимодействия, и ${ displaystyle J ''}$ описывает 4-спиновое взаимодействие между четырьмя гранями в вершине; сумма идет по всей решетке.

Isinginteractions

Обозначим горизонтальные и вертикальные спины (стрелки на ребрах) в восьмивершинной модели ${ displaystyle mu}$ , ${ displaystyle alpha}$ соответственно, и определяем вверх и вправо как положительные направления. Ограничение на состояния вершин состоит в том, что произведение четырех ребер в вершине равно 1; это автоматически выполняется для «краев» Изинга. Каждый ${ displaystyle sigma}$ тогда конфигурация соответствует уникальному ${ displaystyle mu}$ , ${ displaystyle alpha}$ конфигурации, тогда как каждый ${ displaystyle mu}$ , ${ displaystyle alpha}$ конфигурация дает два варианта ${ displaystyle sigma}$ конфигурации.

Приравнивание общих форм весов Больцмана для каждой вершины ${ displaystyle j}$ , следующие соотношения между ${ displaystyle epsilon _ {j}}$ и ${ displaystyle J_ {h}}$ , ${ displaystyle J_ {v}}$ , ${ displaystyle J}$ , ${ displaystyle J '}$ , ${ displaystyle J ''}$ определить соответствие между решетчатыми моделями:

{ displaystyle { begin {align} epsilon _ {1} & = - J_ {h} -J_ {v} -J-J'-J '', quad epsilon _ {2} = J_ {h} + J_ {v} -J-J'-J '' эпсилон _ {3} & = - J_ {h} + J_ {v} + J + J'-J '' ', quad epsilon _ { 4} = J_ {h} -J_ {v} + J + J'-J '' эпсилон _ {5} & = epsilon _ {6} = J-J '+ J' ' эпсилон _ {7} & = epsilon _ {8} = - J + J '+ J' '. End {выравнивается}}}

Отсюда следует, что в случае нулевого поля восьмивершинной модели горизонтальные и вертикальные взаимодействия в соответствующей модели Изинга исчезают.

Эти отношения дают эквивалентность ${ displaystyle Z_ {I} = 2Z_ {8V}}$ между статистическими суммами восьмивершинной модели и 2,4-спиновой моделью Изинга. Следовательно, решение в одной из моделей немедленно приведет к решению в другой.

Смотрите также

Примечания

^ Сазерленд, Билл (1970). «Двумерные кристаллы с водородной связью без правила льда». Журнал математической физики. Издательство AIP. 11 (11): 3183–3186. Дои:10.1063/1.1665111. ISSN 0022-2488.
^ Fan, Chungpeng; Ву, Ф. Ю. (1970-08-01). «Общая решеточная модель фазовых переходов». Физический обзор B. Американское физическое общество (APS). 2 (3): 723–733. Дои:10.1103 / Physrevb.2.723. ISSN 0556-2805.
^ Бакстер, Р. Дж. (1971-04-05). «Восьмивершинная модель в решеточной статистике». Письма с физическими проверками. Американское физическое общество (APS). 26 (14): 832–833. Дои:10.1103 / Physrevlett.26.832. ISSN 0031-9007.

Восьмивершинная модель - Википедия - Eight-vertex model

Содержание

Описание

Решение в случае нулевого поля

Коммутирующие трансфер-матрицы

Матричная функция ${ displaystyle Q (u)}$

Явное решение

Эквивалентность модели Изинга

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

Восьмивершинная модель - Википедия - Eight-vertex model

Описание

Решение в случае нулевого поля

Коммутирующие трансфер-матрицы

Матричная функция Q ( ты ) { displaystyle Q (u)}

Явное решение

Эквивалентность модели Изинга

Смотрите также

Примечания

Рекомендации

Матричная функция ${ displaystyle Q (u)}$