Червоточина Эллиса - Ellis wormhole

Экваториальное сечение червоточины Эллиса, катеноид ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$

В Червоточина Эллиса это частный случай Дренажное отверстие Эллиса в котором «эфир» не течет и нет гравитации. Остается чистый проходимая червоточина состоящий из пары идентичных неплоских трехмерных областей-близнецов, соединенных в две сферы, «горловину» червоточины. Как видно на изображении, двумерные экваториальные сечения червоточины имеют вид катеноидный асимптотически плоские «воротники» далеко от горла. Поскольку сила тяжести отсутствует, инерционный наблюдатель (тестовая частица ) может вечно сидеть в покое в любой точке пространства, но если он приводится в движение каким-либо возмущением, последует геодезический экваториального сечения с постоянной скоростью, как и фотон. Это явление показывает, что в пространстве-времени кривизна пространства не имеет ничего общего с гравитацией (можно сказать, «кривизна времени»).

Как частный случай Дренажное отверстие Эллиса Сама по себе «проходимая червоточина», червоточина Эллиса восходит к моменту открытия дренажной скважины в 1969 году (дата первого представления) Х. Г. Эллисом,^[1]и независимо примерно в то же время К. А. Бронников.^[2]

Эллис и Бронников вывели оригинальную проходимую червоточину как решение теории Эйнштейна. уравнения вакуумного поля дополнен включением скалярного поля ${ displaystyle phi}$ минимально связанный с геометрией пространства-времени с полярностью связи, противоположной ортодоксальной полярности (отрицательной вместо положительной). Несколько лет спустя М. С. Моррис и К. С. Торн изготовили копию червоточины Эллиса, чтобы использовать ее в качестве инструмента для обучения общей теории относительности.^[3]Утверждая, что существование такой кротовой норы требует наличия «отрицательной энергии», Эллис рассматривал эту точку зрения и явно отказывался принять ее на том основании, что аргументы в ее пользу неубедительны.^[1]

Решение кротовой норы

Метрика кротовой норы имеет вид собственного времени

${ displaystyle c ^ {2} d tau ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -d sigma ^ {2} ,,}$

куда

${ Displaystyle { begin {align} d sigma ^ {2} & = d rho ^ {2} + r ^ {2} ( rho) , d Omega ^ {2} & = d rho ^ {2} + left ( rho ^ {2} + n ^ {2} right) , d Omega ^ {2} & = d rho ^ {2} + left ( rho ^ {2} + n ^ {2} right) , left [d vartheta ^ {2} + ( sin vartheta) ^ {2} , d varphi ^ {2} right] ; ; конец {выровнено}}}$

и ${ displaystyle n}$ параметр дренажной скважины, который сохраняется после параметра ${ displaystyle m}$ раствора для дренажного отверстия Эллиса установлено значение 0, чтобы остановить поток эфира и тем самым устранить гравитацию. Если пойти дальше и установить ${ displaystyle n}$ до 0, метрика становится метрикой Пространство-время Минковского, плоское пространство-время специальная теория относительности.

В пространстве-времени Минковского каждый подобный времени и каждая светоподобная (нулевая) геодезическая представляет собой прямую `` мировую линию '', которая проецируется на прямолинейную геодезическую экваториального сечения отрезка времени постоянной ${ displaystyle t,}$ как, например, тот, на котором ${ displaystyle t = 0}$ и ${ Displaystyle vartheta = pi / 2}$, метрика которого есть метрика евклидова двумерного пространства в полярных координатах ${ displaystyle [ rho, varphi]}$, а именно

${ displaystyle ds ^ {2} = d rho ^ {2} + rho ^ {2} , d varphi ^ {2} ,.}$

Видно, что каждая пробная частица или фотон движется по такой экваториальной геодезической с фиксированной координатной скоростью, которая может быть равна 0, поскольку в пространстве-времени Минковского не существует гравитационного поля. Все эти свойства пространства-времени Минковского имеют свои аналоги в кротовой норе Эллиса, но с изменениями, обусловленными тем фактом, что метрика и, следовательно, геодезические экваториальных поперечных сечений кротовой норы не являются прямыми линиями, а скорее являются `` самыми прямыми '' путями. в сечениях. Поэтому интересно посмотреть, как выглядят эти экваториальные геодезические.

Экваториальные геодезические червоточины

Геодезические ограничены одной стороной горла червоточины

Геодезические спирали нарастают на горло червоточины

Геодезические, проходящие через горло червоточины

Экваториальное сечение червоточины определяется как ${ displaystyle t = 0}$ и ${ Displaystyle vartheta = pi / 2}$ (представитель всех таких сечений) несет метрику

${ displaystyle ds ^ {2} = d rho ^ {2} + left ( rho ^ {2} + n ^ {2} right) , d varphi ^ {2} ,.}$

Когда поперечное сечение с этой метрикой помещается в евклидово трехмерное пространство, изображение представляет собой катеноид ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ показано выше, с ${ displaystyle rho}$ измерение расстояния от центральной окружности в горловине радиуса ${ displaystyle n}$, вдоль кривой, на которой ${ displaystyle varphi}$ фиксируется (показан один такой). В цилиндрические координаты ${ displaystyle [г, varphi, z]}$ уравнение ${ Displaystyle г = п сш (г / п)}$ имеет ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ как его график.

После некоторых интегрирований и замен уравнения геодезической ${ Displaystyle { mathcal {C}}}$ параметризовано ${ displaystyle s}$ сократить до

${ displaystyle { frac {d varphi} {ds}} = { frac {h} { rho ^ {2} + n ^ {2}}}}$

и

${ displaystyle left ({ frac {d rho} {ds}} right) ^ {2} + { frac {h ^ {2}} { rho ^ {2} + n ^ {2}} } , = 1,}$

куда ${ displaystyle h}$ является константой. Если ${ Displaystyle д ро / дс экв 0 ,,}$ тогда ${ displaystyle h ^ {2} = rho ^ {2} + n ^ {2} geq n ^ {2} ,,}$ ${ displaystyle textstyle d varphi / ds = 1 / h,}$ и ${ displaystyle textstyle rho = pm { sqrt {h ^ {2} -n ^ {2}}} ,,}$ наоборот. Таким образом, каждый «круг широты» (${ Displaystyle rho =}$ постоянная) является геодезической. Если с другой стороны ${ displaystyle d rho / ds}$ не является тождественным 0, то его нули изолированы, и редуцированные уравнения могут быть объединены для получения орбитального уравнения

${ displaystyle left ({ frac {d varphi} {d rho}} right) ^ {2} = { frac {h ^ {2}} { left ( rho ^ {2} + n ^ {2} right) left ( rho ^ {2} + n ^ {2} -h ^ {2} right)}} ,.}$

Следует рассмотреть три случая:

• ${ displaystyle h ^ {2}> п ^ {2},}$ откуда следует, что ${ displaystyle rho ^ {2} geq h ^ {2} -n ^ {2}> 0,}$ таким образом, геодезическая ограничена одной стороной червоточины или другой и имеет точку поворота в ${ displaystyle textstyle rho = { sqrt {h ^ {2} -n ^ {2}}}}$ или же ${ displaystyle textstyle rho = - { sqrt {h ^ {2} -n ^ {2}}} ,;}$
• ${ displaystyle h ^ {2} = n ^ {2},}$ что влечет за собой ${ displaystyle rho ^ {2}> 0,}$ чтобы геодезическая не пересекала горло в ${ displaystyle rho = 0,}$ но закручивается на него по спирали с той или иной стороны;
• ${ Displaystyle ч ^ {2} <п ^ {2},}$ что позволяет геодезической пересечь червоточину с одной стороны на другую.

На рисунках представлены примеры трех типов. Если ${ displaystyle s}$ разрешено варьироваться от ${ displaystyle - infty}$ к ${ displaystyle infty,}$ количество орбитальных оборотов, возможных для каждого типа, включая широту, не ограничено. Для первого и третьего типов число возрастает до бесконечности как ${ displaystyle h ^ {2} to n ^ {2};}$ для спирального типа и широт число уже бесконечно.

То, что эти геодезические могут огибать червоточину, ясно показывает, что кривизна пространства сама по себе, без помощи гравитации, может заставить тестовые частицы и фотоны следовать по траекториям, которые значительно отклоняются от прямых линий и могут создавать эффекты линзирования.

Динамическая червоточина Эллиса

Существует динамическая версия червоточины Эллиса, которая является решением тех же уравнений поля, что и статическая червоточина Эллиса.^[4]Его метрика

${ displaystyle c ^ {2} d tau ^ {2} = c ^ {2} dt ^ {2} -d sigma ^ {2} ,,}$

куда

${ Displaystyle d sigma ^ {2} = d rho ^ {2} + left [ left (1 + a ^ {2} right) rho ^ {2} + a ^ {2} c ^ { 2} t ^ {2} , right] , d Omega ^ {2} ,,}$

${ displaystyle a}$ положительная константа. В точке есть «точечная особенность». ${ displaystyle t = rho = 0,}$ но везде метрика регулярна, а кривизна конечна. Геодезические, не выходящие на точечную особенность, завершены; те, которые это делают, могут быть расширены за его пределы, продвигаясь по любой из геодезических, которые встречаются с сингулярностью с противоположного направления времени и имеют совместимые касательные (аналогично геодезическим графа ${ Displaystyle Z = (ху) ^ {3}}$ которые встречаются с сингулярностью в начале координат).

При фиксированном ненулевом значении ${ displaystyle t}$ экваториальное сечение, на котором ${ Displaystyle vartheta = pi / 2}$ имеет метрику

${ displaystyle { begin {align} ds ^ {2} & = d rho ^ {2} + r ^ {2} (t, rho) , d varphi ^ {2} & = d rho ^ {2} + left [ left (1 + a ^ {2} right) rho ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} t ^ {2} , right] , d varphi ^ {2} ,. end {align}}}$

Эта метрика описывает «гиперкатеноид», подобный экваториальному катеноиду статической червоточины, с радиусом ${ displaystyle n}$ горла (где ${ displaystyle rho = 0}$) теперь заменено на ${ displaystyle ac | t |,}$ и вообще каждый круг широты геодезического радиуса ${ displaystyle rho}$ имеющий окружной радиус ${ displaystyle textstyle r (t, rho) = { sqrt {(1 + a ^ {2}) rho ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} t ^ {2}}} }$.

За ${ displaystyle t = 0}$ метрика ${ Displaystyle vartheta = pi / 2}$ экваториальное сечение

${ displaystyle ds ^ {2} = d rho ^ {2} + left (1 + a ^ {2} right) rho ^ {2} , d varphi ^ {2} ,,}$

который описывает «гиперконус» с вершиной в особой точке, его широтные круги геодезического радиуса ${ displaystyle rho}$ имея окружности ${ displaystyle textstyle 2 pi r (0, rho) = 2 pi { sqrt {1 + a ^ {2}}} rho ,.}$ В отличие от катеноида, ни гиперкатеноид, ни гиперкон не могут быть полностью представлены как поверхность в евклидовом трехпространстве; только порции, где ${ displaystyle textstyle | dr (t, rho) / d rho | = (1 + a ^ {2}) | rho | { big /} { sqrt {(1 + a ^ {2}) rho ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} t ^ {2}}} leq 1}$ (таким образом, где ${ displaystyle textstyle | rho | leq c | t | { big /} { sqrt {1 + a ^ {2}}}}$ или эквивалентно ${ displaystyle textstyle r (t, rho) leq { sqrt {1 + a ^ {2}}} c | t |}$) можно вложить таким образом.

Динамически, как ${ displaystyle t}$ авансы от ${ displaystyle - infty}$ к ${ displaystyle infty}$ экваториальные сечения сжимаются от гиперкатеноидов бесконечного радиуса до гиперконусов (гиперкатеноидов нулевого радиуса) при ${ displaystyle t = 0,}$ затем снова расшириться до гиперкатеноидов бесконечного радиуса. Исследование тензора кривизны показывает, что полное динамическое пространственно-временное многообразие кротовых нор Эллиса является асимптотически плоским во всех направлениях. ${ displaystyle -}$ подобен времени, свету и пространству.

Приложения

• Рассеяние червоточиной Эллиса^[5]
• Пространственное линзирование (нет гравитационное линзирование, так как гравитации нет) в червоточине Эллиса
  • Микролинзирование червоточиной Эллиса^[6]
  • Волновой эффект при линзировании червоточиной Эллиса^[7]
  • Смещение центроида изображения из-за микролинзирования червоточиной Эллиса^[8]
  • Точное уравнение линзы для червоточины Эллиса^[9]
  • Линзирование червоточинами^[10][11]

Рекомендации