Постоянная Феллера – Торнье - Feller–Tornier constant

В математике Постоянная Феллера – Торнье C_FT представляет собой плотность набора всех положительных целых чисел, у которых есть четное число различных простых множителей, возведенных в степень больше единицы (без учета любых простых множителей, которые появляются только в первой степени).^[1]Он назван в честь Уильяма Феллера (1906–1970) и Эрхарда Торнье (1894–1982).^[2]

${ displaystyle { begin {align} C _ { text {FT}} & = {1 over 2} + left ({1 over 2} prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1- {2 over p_ {n} ^ {2}} right) right) [4pt] & = {{1} over {2}} left (1+ prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - {{2} over {p_ {n} ^ {2}}} right) right) [4pt] & = {1 over 2} left (1 + {{1} over { zeta (2)}} prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - {{1} over {p_ {n} ^ {2}) -1}} right) right) [4pt] & = {1 over 2} + {{3} over { pi ^ {2}}} prod _ {n = 1} ^ { infty} left (1 - {{1} over {p_ {n} ^ {2} -1}} right) = 0,66131704946 ldots end {выровнено}}}$

(последовательность A065493 в OEIS )

Омега функция

В Омега функция дан кем-то

${ displaystyle Omega (x) = { text {количество простых множителей}} x { text {, рассчитанных по кратностям}}}$

В Кронштейн Айверсона является

${ displaystyle [P] = { begin {cases} 1 & { text {if}} P { text {true,}} 0 & { text {if}} P { text {false.} } end {case}}}$

С этими обозначениями мы имеем

${ displaystyle C _ { text {FT}} = lim _ {n to infty} { frac { sum _ {k = 1} ^ {n} [ Omega (k) { bmod {2} } = 0]} {n}} = {1 более 2}}$

Простая дзета-функция

В простая дзета-функция п дается

${ displaystyle P (s) = sum _ {p { text {is prime}}} { frac {1} {p ^ {s}}}.}$

Постоянная Феллера – Торнье удовлетворяет

${ displaystyle C _ { text {FT}} = {1 over 2} left (1+ exp left (- sum _ {n = 1} ^ { infty} {2 ^ {n} P ( 2n) over n} right) right).}$

Смотрите также

• Дзета-функция Римана
• L-функция
• Произведение Эйлера
• Твин премьер

Рекомендации