Формальный расчет - Formal calculation

В математическая логика, а формальный расчет это расчет, который систематический, но без строгого обоснования. Это означает, что мы манипулируем символами в выражении, используя универсальную подстановку, не доказывая выполнения необходимых условий. По сути, нас интересует форма выражения, и не обязательно его основного значения. Это рассуждение может служить положительным доказательством того, что какое-то утверждение истинно, когда доказательство трудно или не нужно, или вдохновением для создания новых (совершенно строгих) определений.

Однако такое толкование термина «формальный» не является общепринятым, и некоторые считают, что он означает прямо противоположное: совершенно строгий аргумент, как в формальная математическая логика.

Примеры

Простые примеры

Формальные вычисления могут привести к результатам, которые неверны в одном контексте, но верны в другом. Уравнение

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} q ^ {n} = {frac {1} {1-q}}}$

имеет место, если q имеет абсолютное значение меньше 1. Игнорируя это ограничение и подставляя q = 2 ведет к

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} 2 ^ {n} = - 1.}$

Подставив q= 2 в доказательство первого уравнения, получаем формальное вычисление, которое дает последнее уравнение. Но это неверно с действительными числами, поскольку ряды не сходятся. Однако есть и другие контексты (например, работа с 2-адические числа, или с целые числа по модулю 2 ), где ряд сходится. Формальный расчет подразумевает, что последнее уравнение должно быть действительным в этих контекстах.

Другой пример получается заменой q= -1. Полученная серия 1-1+1-1+... расходится (по реальному и p-адический числа), но можно присвоить ему значение с помощью альтернативных методов суммирования, таких как Чезаро суммирование. Результирующее значение 1/2 совпадает с результатом формального вычисления.

Формальный степенной ряд

Формальный степенной ряд концепция, которая принимает форму степенной ряд из реальный анализ. Слово «формальный» указывает на то, что не требуется, чтобы ряды сходились.

Манипуляции с символами

Предположим, мы хотим решить дифференциальное уравнение

${displaystyle {frac {dy} {dx}} = y ^ {2}}$

Рассматривая эти символы как обычные алгебраические и не давая никаких обоснований относительно обоснованности этого шага, мы принимаем взаимные значения обеих сторон:

${displaystyle {frac {dx} {dy}} = {frac {1} {y ^ {2}}}}$

Теперь возьмем простой первообразный:

${displaystyle x = {frac {-1} {y}} + C}$

${displaystyle y = {frac {1} {C-x}}}$

Потому что это формальный расчет, мы также можем позволить себе позволить ${displaystyle C = infty}$ и получим другое решение:

${displaystyle y = {frac {1} {infty -x}} = {frac {1} {infty}} = 0}$

Если у нас есть какие-либо сомнения по поводу нашего аргумента, мы всегда можем проверить окончательные решения, чтобы убедиться, что они решают уравнение.

Смотрите также

• Формальный степенной ряд
• Математическая логика

Рекомендации

• Стюарт С. Антман (1995). Нелинейные задачи упругости, Прикладные математические науки т. 107. Springer-Verlag. ISBN  0-387-20880-1.