Пространство Фреше – Урысона - Википедия - Fréchet–Urysohn space

В области топология, а Пространство Фреше – Урысона это топологическое пространство Икс со свойством, что для каждого подмножества S ⊆ Икс то закрытие из S в Икс идентичен последовательный закрытие S в Икс. Пространства Фреше – Урысона - это особый тип последовательное пространство.

Пространства Фреше – Урысона являются наиболее общими учебный класс пространств, для которых последовательности Достаточно определить все топологические свойства подмножеств пространства. То есть пространства Фреше – Урысона - это именно те пространства, для которых знание того, какие последовательности сходятся к каким пределам (а какие - нет), достаточно, чтобы полностью определить топологию пространства. Каждое пространство Фреше – Урысона является секвенциальным пространством, но не наоборот.

Помещение названо в честь Морис Фреше и Павел Урысон.

Определения

Смотрите также: Последовательное пространство

Позволять (Икс, τ) быть топологическое пространство.

В последовательное закрытие набора S в Икс это набор:

SeqCl S  :=  [ S ]seq  :=  {  Икс ∈ Икс : существует последовательность s• = (sя)∞
я=1 в S такой, что s• → Икс в (Икс, τ)}

кудаSeqClИкс S или жеSeqCl(Икс, τ) S может быть написано, если нужна ясность.

Пространство (Икс, τ) считается Фреше – Урысон пробел, если для каждого подмножества подмножества S из Икс, ClИкс S = SeqClИкс S, где обозначает закрытие из S в Икс.

Последовательно открытые / закрытые наборы

Определения: Если S любое подмножество Икс тогда:

  • последовательность Икс1,  Икс2,  ...  является в конце концов в S если существует положительное целое число N такой, что Иксп ∈ S для всех целых чисел п ≥ N.
  • S является последовательно открывать если каждая последовательность (Иксп) в Икс сходится к точке S в конечном итоге в S;
    • Обычно, если Икс тогда понятно SeqCl S написано вместо SeqClИкс S.
  • S является последовательно закрытый если S = SeqClИкс Sили, что то же самое, если всякий раз Икс• = (Икся)я ∈ я это последовательность в S сходится к Икс, тогда Икс также должен быть в S.
    • В дополнять последовательно открытого множества - это последовательно замкнутое множество, и наоборот.

ПозволятьSeqOpen (Икс, τ) обозначим множество всех последовательно открытых подмножеств топологического пространства (Икс, τ). НаборSeqOpen (Икс, τ) топология на Икс содержащий исходную топологию τ (т.е. τ ⊆ SeqOpen (Икс, τ)).

Сильное пространство Фреше – Урысона.

Топологическое пространство Икс это сильное пространство Фреше – Урысона если за каждую точку Икс ∈ Икс и каждая последовательность А1, А2, ... подмножеств пространства Икс такой, что , есть точки а1 ∈ А1,  а2 ∈ А2,  ... такой, что(ая)∞
я=1 → Икс в (Икс, τ).

Вышеуказанные свойства могут быть выражены как принципы отбора.

Контраст с последовательными пространствами

Каждое открытое подмножество Икс последовательно открыто, и каждое закрытое множество последовательно закрывается. Обратное обычно неверно. Пространства, для которых верно обратное, называются последовательные пробелы; то есть последовательное пространство - это топологическое пространство, в котором каждое последовательно открытое подмножество обязательно открыто (или, что эквивалентно, пространство, в котором каждое последовательно замкнутое подмножество обязательно закрыто). Каждое пространство Фреше-Урысона является секвенциальным пространством, но есть секвенциальные пространства, которые не являются пространствами Фреше-Урысона.

Последовательные (соответственно, пространства Фреше-Урысона) можно рассматривать как именно те пространства Икс где для любого отдельно взятого подмножества S ⊆ Икс, знание каких последовательностей в Икс сходятся к какой точке (точкам) Икс (а каких нет) достаточно, чтобы определить, действительно ли S закрыт в Икс (соответственно, чтобы определить закрытие S в Икс).[примечание 1] Таким образом, последовательные пространства - это те пространства Икс для каких последовательностей в Икс может использоваться как «тест» для определения того, является ли какое-либо данное подмножество открытым (или, что эквивалентно, закрытым) в Икс; или, иначе говоря, секвенциальные пространства - это те пространства, топологии которых можно полностью охарактеризовать с точки зрения сходимости последовательностей. В любом пространстве нет последовательно, существует подмножество, для которого этот "тест" дает "ложный положительный результат."[заметка 2]

Характеристики

Позволять (Икс, τ) быть топологическим пространством. Тогда следующие эквиваленты:

  1. Икс - пространство Фреше – Урысона;
  2. Для каждого подмножества S ⊆ Икс, SeqClИкс S = ClИкс S;
  3. Каждое подпространство Икс это последовательное пространство;
  4. Для любого подмножества S ⊆ Икс то есть нет закрыт в Икс и для каждого Икс ∈ (Cl S)  ∖  S, существует последовательность в S что сходится к Икс.
    Для любого подмножества S ⊆ Икс то есть нет закрыт в Икс, Существует немного Икс ∈ (Cl S)  ∖  S для которого существует последовательность в S что сходится к Икс.[1]
    • Таким образом, из характеризации следует, что каждое пространство Фреше – Урысона является секвенциальным пространством.

Примеры

Каждый место с первым счетом является пространством Фреше – Урысона.

Характеристики

Каждое пространство Фреше – Урысона является секвенциальным пространством. Обратное утверждение в целом неверно.[2][3]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Конечно, если бы вы могли использовать эти знания для определения все наборов в { Т : S ⊂ Т ⊆ Икс  }, которые закрыты, вы можете определить закрытие S. Эта интерпретация предполагает, что вы делаете это определение Только к данному набору S а не в другие наборы; иначе говоря, вы не можете одновременно применять этот "тест" к бесконечному множеству подмножеств (например, вы не можете использовать что-то похожее на аксиома выбора ). Именно в пространствах Фреше-Урысона замыкание множества S может быть определен без необходимости рассматривать какой-либо набор, кроме S.
  2. ^ Хотя этот "тест" (который пытается ответить "открыт ли этот набор (или закрыт)?") Потенциально может дать "ложное срабатывание", он никогда не может дать "ложноотрицательный; "это потому, что каждое открытое (соответственно закрытое) подмножество S обязательно последовательно открывается (соответственно, последовательно закрывается), поэтому этот «тест» никогда не будет указывать «ложь» для любого набора S это действительно открыто (или закрыто).

Рекомендации

  1. ^ Архангельский, А. и Понтрягин Л.С.,  Общая топология I, определение 9 стр.12
  2. ^ Engelking 1989, Пример 1.6.18
  3. ^ Ма, Дэн. "Заметка о пространстве Аренов". Получено 1 августа 2013.