Вейвлет Габора - Gabor wavelet

Вейвлеты Габора находятся вейвлеты изобретен Деннис Габор используя сложные функции, которые служат основой для Преобразования Фурье в теория информации Приложения. Они очень похожи на Вейвлеты Морле. Они также тесно связаны с Фильтры Gabor. Важное свойство вейвлет состоит в том, что он минимизирует произведение своих стандартных отклонений во временной и частотной областях. Другими словами, неуверенность информация, переносимая этим вейвлетом, сведена к минимуму. Однако у них есть обратная сторона - они неортогональны, поэтому эффективное разложение на базис затруднено. С момента их создания появились различные приложения, от обработки изображений до анализа нейронов в зрительной системе человека.^[1][2]

Свойство минимальной неопределенности

Мотивация для вейвлетов Габора исходит из поиска некоторой функции ${ displaystyle f (x)}$ что минимизирует его стандартное отклонение во временной и частотной областях. Более формально дисперсия в позиционной области составляет:

${ displaystyle ( Delta x) ^ {2} = { frac { int _ {- infty} ^ { infty} (x- mu) ^ {2} f (x) f ^ {*} ( x) , dx} { int _ {- infty} ^ { infty} f (x) f ^ {*} (x) , dx}}}$

куда ${ displaystyle f ^ {*} (х)}$ является комплексным сопряжением ${ displaystyle f (x)}$ и ${ displaystyle mu}$ это среднее арифметическое, определяемое как:

${ displaystyle mu = { frac { int _ {- infty} ^ { infty} xf (x) f ^ {*} (x) , dx} { int _ {- infty} ^ { infty} f (x) f ^ {*} (x) , dx}}}$

Разница в волновое число домен:

${ displaystyle ( Delta k) ^ {2} = { frac { int _ {- infty} ^ { infty} (k-k_ {0}) ^ {2} F (k) F ^ {* } (k) , dk} { int _ {- infty} ^ { infty} F (k) F ^ {*} (k) , dk}}}$

Где ${ displaystyle k_ {0}}$ - среднее арифметическое преобразования Фурье ${ displaystyle f (x)}$, ${ Displaystyle F (х)}$:

${ displaystyle k_ {0} = { frac { int _ {- infty} ^ { infty} kF (k) F ^ {*} (k) , dk} { int _ {- infty} ^ { infty} F (k) F ^ {*} (k) , dk}}}$

С их определением неопределенность записывается как:

${ Displaystyle ( Delta x) ( Delta k)}$

Было показано, что эта величина имеет нижнюю границу ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$. Квантовая механика должна интерпретировать ${ displaystyle ( Delta x)}$ как неуверенность в положении и ${ displaystyle hbar ( Delta k)}$ как неуверенность в импульсе. Функция ${ displaystyle f (x)}$ имеющий наименьшую теоретически возможную границу неопределенности - это вейвлет Габора.^[3]

Уравнение

Уравнение одномерного вейвлета Габора - это гауссово модулированное комплексной экспонентой, описываемое следующим образом:^[3]

${ displaystyle f (x) = e ^ {- (x-x_ {0}) ^ {2} / a ^ {2}} e ^ {- ik_ {0} (x-x_ {0})}}$

В отличие от других функций, обычно используемых в качестве баз в преобразованиях Фурье, таких как ${ displaystyle sin}$ и ${ displaystyle cos}$, Вейвлеты Габора обладают свойствами локальности, означающими, что расстояние от центра ${ displaystyle x_ {0}}$ увеличивается, значение функции экспоненциально подавляется. ${ displaystyle a}$ контролирует скорость этого экспоненциального спада и ${ displaystyle k_ {0}}$ контролирует скорость модуляции.

Также стоит отметить преобразование Фурье вейвлета Габора, которое также является вейвлетом Габора:

${ displaystyle F (k) = e ^ {- (k-k_ {0}) ^ {2} a ^ {2}} e ^ {- ix_ {0} (k-k_ {0})}}$

Пример вейвлета приведен здесь:

Вейвлет Габора с а = 2, Икс₀ = 0 и k₀ = 1

Смотрите также

• Преобразование Габора
• Фильтр Габора
• Вейвлет Морле

Рекомендации

внешняя ссылка

• Код MATLAB для двумерных вейвлетов Габора и извлечения признаков Габора