Обобщенная модель Максвелла - Generalized Maxwell model

Схема модели Максвелла – Вихерта

В Обобщенная модель Максвелла также известный как Модель Максвелла – Вихерта (после Джеймс Клерк Максвелл и Э. Вихерт^[1]^[2]) - наиболее общий вид линейной модели для вязкоупругость. В этой модели несколько Элементы Максвелла собираются параллельно. При этом учитывается, что расслабление происходит не единовременно, а несколько раз. Из-за наличия молекулярных сегментов разной длины, причем более короткие из них вносят меньший вклад, чем более длинные, существует различное временное распределение. Модель Вихерта показывает это, имея столько элементов Максвелла, сколько необходимо для точного представления распределения. На рисунке справа показана обобщенная модель Вихерта.^[3]^[4]

Общий вид модели

Твердые тела

Данный ${displaystyle N + 1}$ элементы с модулями ${displaystyle E_ {i}}$ , вязкости ${displaystyle eta _ {i}}$ , и время релаксации ${displaystyle au _ {i} = {frac {eta _ {i}} {E_ {i}}}}$

Общий вид модели твердого тела имеет вид^{[нужна цитата ]}:

Общая твердотельная модель Максвелла (1)

${displaystyle sigma +}$ ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {N} {left ({sum _ {i_ {1} = 1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1} +1} ^ {N-left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1} +1} ^ {N } {left ({prod _ {jin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {au _ {j}}} ight)}} ight) ...}} ight) ...}} ight) {frac {partial ^ {n} {sigma}} {partial {t} ^ {n}}}}}$

${displaystyle =}$

${displaystyle E_ {0} эпсилон +}$ ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {N} {left ({sum _ {i_ {1} = 1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1} +1} ^ {N-left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1} +1} ^ {N } {left ({left ({E_ {0} + sum _ {jin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {E_ {j}}} ight) left ({prod _ {kin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {au _ {k}}} ight)} ight)}} ight) ...}} ight) ... }} ight) {frac {partial ^ {n} {epsilon}} {partial {t} ^ {n}}}}}$

Это легче понять, если показать модель в несколько более развернутом виде:

Общая твердотельная модель Максвелла (2)

${displaystyle sigma +}$ ${displaystyle {left ({sum _ {i = 1} ^ {N} {au _ {i}}} ight)} {frac {partial {sigma}} {partial {t}}} +}$ ${displaystyle {left ({sum _ {i = 1} ^ {N-1} {left ({sum _ {j = i + 1} ^ {N} {au _ {i} au _ {j}}} ight) )}} ight)} {frac {partial ^ {2} {sigma}} {partial {t} ^ {2}}}}$ ${displaystyle + ... +}$

${displaystyle left ({sum _ {i_ {1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1} +1} ^ {N -left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1} +1} ^ {N} {left ({prod _ {jin left {{ i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {au _ {j}}} ight)}} ight) ...}} ight) ...}} ight) {frac {partial ^ {n} {sigma}} {частично {t} ^ {n}}}}$ ${displaystyle + ... +}$ ${displaystyle left ({prod _ {i = 1} ^ {N} {au _ {i}}} ight) {frac {partial ^ {N} {sigma}} {partial {t} ^ {N}}}}$

${displaystyle =}$

${displaystyle E_ {0} эпсилон +}$ ${displaystyle {left ({sum _ {i = 1} ^ {N} {left ({E_ {0} + E_ {i}} ight) au _ {i}}} ight)} {frac {partial {epsilon} } {частичное {t}}} +}$ ${displaystyle {left ({sum _ {i = 1} ^ {N-1} {left ({sum _ {j = i + 1} ^ {N} {left ({E_ {0} + E_ {i} + E_ {j}} ight) au _ {i} au _ {j}}} ight)}} ight)} {frac {partial ^ {2} {epsilon}} {partial {t} ^ {2}}}}$ ${displaystyle + ... +}$

${displaystyle left ({sum _ {i_ {1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1} +1} ^ {N -left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1} +1} ^ {N} {left ({left ({E_ {0}) + sum _ {jin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {E_ {j}}} ight) left ({prod _ {kin left {{i_ {1} ,. .., i_ {n}} ight}} {au _ {k}}} ight)} ight)}} ight) ...}} ight) ...}} ight) {frac {partial ^ {n} {epsilon}} {частично {t} ^ {n}}}}$ ${displaystyle + ... +}$ ${displaystyle left ({E_ {0} + sum _ {j = 1} ^ {N} E_ {j}} ight) left ({prod _ {i = 1} ^ {N} {au _ {i}}}) ight) {frac {partial ^ {N} {epsilon}} {partial {t} ^ {N}}}}$

Пример: стандартная линейная твердотельная модель

Следуя приведенной выше модели с ${displaystyle N + 1 = 2}$ элементы дает стандартная линейная твердотельная модель:

Стандартная линейная твердотельная модель (3)

${displaystyle sigma + au _ {1} {frac {partial {sigma}} {partial {t}}} = E_ {0} epsilon + au _ {1} left ({E_ {0} + E_ {1}} ight ) {frac {partial {epsilon}} {partial {t}}}}$

Жидкости

Данный ${displaystyle N + 1}$ элементы с модулями ${displaystyle E_ {i}}$ , вязкости ${displaystyle eta _ {i}}$ , и время релаксации ${displaystyle au _ {i} = {frac {eta _ {i}} {E_ {i}}}}$

Общий вид модели для жидкостей имеет следующий вид:

Общая модель жидкости Максвелла (4)

${displaystyle sigma +}$ ${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {N} {left ({sum _ {i_ {1} = 1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1} +1} ^ {N-left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1} +1} ^ {N } {left ({prod _ {jin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {au _ {j}}} ight)}} ight) ...}} ight) ...}} ight) {frac {partial ^ {n} {sigma}} {partial {t} ^ {n}}}}}$

${displaystyle =}$

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {N} {left ({eta _ {0} + sum _ {i_ {1} = 1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1} +1} ^ {N-left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1}) +1} ^ {N} {left ({left ({sum _ {jin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {E_ {j}}} ight) left ({ prod _ {kin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {au _ {k}}} ight)} ight)}} ight) ...}} ight) .. .}} ight) {frac {partial ^ {n} {epsilon}} {partial {t} ^ {n}}}}}$

Это легче понять, если показать модель в несколько более развернутом виде:

Общая модель жидкости Максвелла (5)

${displaystyle sigma +}$ ${displaystyle {left ({sum _ {i = 1} ^ {N} {au _ {i}}} ight)} {frac {partial {sigma}} {partial {t}}} +}$ ${displaystyle {left ({sum _ {i = 1} ^ {N-1} {left ({sum _ {j = i + 1} ^ {N} {au _ {i} au _ {j}}} ight) )}} ight)} {frac {partial ^ {2} {sigma}} {partial {t} ^ {2}}}}$ ${displaystyle + ... +}$

${displaystyle left ({sum _ {i_ {1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1} +1} ^ {N -left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1} +1} ^ {N} {left ({prod _ {jin left {{ i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {au _ {j}}} ight)}} ight) ...}} ight) ...}} ight) {frac {partial ^ {n} {sigma}} {частично {t} ^ {n}}}}$ ${displaystyle + ... +}$ ${displaystyle left ({prod _ {i = 1} ^ {N} {au _ {i}}} ight) {frac {partial ^ {N} {sigma}} {partial {t} ^ {N}}}}$

${displaystyle =}$

${displaystyle {left ({eta _ {0} + sum _ {i = 1} ^ {N} {E_ {i} au _ {i}}} ight)} {frac {partial {epsilon}} {partial {t }}} +}$ ${displaystyle {left ({eta _ {0} + sum _ {i = 1} ^ {N-1} {left ({sum _ {j = i + 1} ^ {N} {left ({E_ {i}) + E_ {j}} ight) au _ {i} au _ {j}}} ight)}} ight)} {frac {partial ^ {2} {epsilon}} {partial {t} ^ {2}}} }$ ${displaystyle + ... +}$

${displaystyle left ({eta _ {0} + sum _ {i_ {1} = 1} ^ {N-n + 1} {... left ({sum _ {i_ {a} = i_ {a-1}) +1} ^ {N-left ({na} ight) +1} {... left ({sum _ {i_ {n} = i_ {n-1} +1} ^ {N} {left ({left ({sum _ {jin left {{i_ {1}, ..., i_ {n}} ight}} {E_ {j}}} ight) left ({prod _ {kin left {{i_ {1}), ..., i_ {n}} ight}} {au _ {k}}} ight)} ight)}} ight) ...}} ight) ...}} ight) {frac {partial ^ {n } {эпсилон}} {частично {t} ^ {n}}}}$ ${displaystyle + ... +}$ ${displaystyle left ({eta _ {0} + left ({sum _ {j = 1} ^ {N} E_ {j}} ight) left) ({prod _ {i = 1} ^ {N} {au _ { i}}} ight)} ight) {frac {partial ^ {N} {epsilon}} {partial {t} ^ {N}}}}$

Пример: трехпараметрическая жидкость

Аналогичная модель стандартная линейная твердотельная модель представляет собой трехпараметрическую жидкость, также известную как модель Джеффриса:^[5]

Трехпараметрическая модель жидкости Максвелла (6)

${displaystyle sigma + au _ {1} {frac {partial {sigma}} {partial {t}}} = left ({eta _ {0} + au _ {1} E_ {1}} ight) {frac {partial {epsilon}} {частично {t}}}}$

использованная литература

^ Wiechert, E (1889); "Ueber elastische Nachwirkung", диссертация, Кенигсбергский университет, Германия
^ Wiechert, E (1893); "Gesetze der elastischen Nachwirkung für constante Temperatur", Annalen der Physik, Vol. 286, г. выпуск 10, с. 335–348 и выпуск 11, с. 546–570
^ Ройланс, Дэвид (2001); «Инженерная вязкоупругость», 14-15
^ Tschoegl, Николас В. (1989); "Феноменологическая теория линейного вязкоупругого поведения", 119-126
^ Гутьеррес-Лемини, Дантон (2013). Инженерная вязкоупругость. Springer. п. 88. ISBN 9781461481393.

[Wiechert1-1] Wiechert, E (1889); "Ueber elastische Nachwirkung", диссертация, Кенигсбергский университет, Германия

[Wiechert2-2] Wiechert, E (1893); "Gesetze der elastischen Nachwirkung für constante Temperatur", Annalen der Physik, Vol. 286, г. выпуск 10, с. 335–348 и выпуск 11, с. 546–570

[Roylance-3] Ройланс, Дэвид (2001); «Инженерная вязкоупругость», 14-15

[Tschoegl-4] Tschoegl, Николас В. (1989); "Феноменологическая теория линейного вязкоупругого поведения", 119-126

[5] Гутьеррес-Лемини, Дантон (2013). Инженерная вязкоупругость. Springer. п. 88. ISBN 9781461481393.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]