Хорошее остовное дерево - Good spanning tree

Условия хорошего остовного дерева

в математический поле теория графов, а хорошее остовное дерево ^[1] ${ displaystyle T}$ из встроенный планарный граф ${ displaystyle G}$ укоренился остовное дерево из ${ displaystyle G}$ недревесные ребра которого удовлетворяют следующим условиям.

• нет края не-дерева ${ Displaystyle (и, v)}$ куда ${ displaystyle u}$ и ${ displaystyle v}$ лежать на пути от корня ${ displaystyle T}$ к листу,
• ребра, инцидентные вершине ${ displaystyle v}$ можно разделить на три набора ${ displaystyle X_ {v}, Y_ {v}}$ и ${ displaystyle Z_ {v}}$, куда,
  • ${ Displaystyle X_ {v}}$ это набор недеревьев ребер, они оканчиваются красной зоной
  • ${ displaystyle Y_ {v}}$ набор ребер дерева, они являются дочерними элементами ${ displaystyle v}$
  • ${ displaystyle Z_ {v}}$ это набор недеревьев ребер, они оканчиваются зеленой зоной

Формальное определение^[1][2]

Иллюстрация для ${ displaystyle X_ {v}, Y_ {v}}$ и ${ displaystyle Z_ {v}}$ наборы ребер

Позволять ${ displaystyle G _ { phi}}$ - плоский граф. Позволять ${ displaystyle T}$ быть корневым остовным деревом ${ displaystyle G _ { phi}}$. Позволять ${ Displaystyle P (r, v) = (r = u_ {1}), u_ {2}, ldots, (v = u_ {k})}$ быть путем в ${ displaystyle T}$ из корня ${ displaystyle r}$ к вершине ${ displaystyle v neq r}$. Тропинка ${ Displaystyle P (г, v)}$ разделяет детей ${ displaystyle u_ {i}}$, ${ Displaystyle (1 Leq я <к)}$, Кроме ${ displaystyle u_ {я + 1}}$, на две группы; левая группа ${ displaystyle L}$ и правая группа ${ displaystyle R}$. Ребенок ${ displaystyle x}$ из ${ displaystyle u_ {i}}$ находится в группе ${ displaystyle L}$ и обозначается ${ displaystyle u_ {i} ^ {L}}$ если край ${ Displaystyle (и_ {я}, х)}$ появляется перед краем ${ Displaystyle (и_ {я}, и_ {я + 1})}$ в порядке по часовой стрелке ребер, инцидентных ${ displaystyle u_ {i}}$ когда заказ начинается с края ${ Displaystyle (и_ {я}, и_ {я + 1})}$. Точно так же ребенок ${ displaystyle x}$ из ${ displaystyle u_ {i}}$ находится в группе ${ displaystyle R}$ и обозначается ${ displaystyle u_ {i} ^ {R}}$ если край ${ Displaystyle (и_ {я}, х)}$ появляется после края ${ Displaystyle (и_ {я}, и_ {я + 1})}$ по часовой стрелке ребер, инцидентных ${ displaystyle u_ {i}}$ когда заказ начинается с края ${ Displaystyle (и_ {я}, и_ {я + 1})}$. Дерево ${ displaystyle T}$ называется хорошее остовное дерево^[1] из ${ displaystyle G _ { phi}}$ если каждая вершина ${ displaystyle v}$ ${ displaystyle (v neq r)}$ из ${ displaystyle G _ { phi}}$ удовлетворяет следующим двум условиям относительно ${ Displaystyle P (г, v)}$.

• [Cond1] ${ displaystyle G _ { phi}}$ не имеет ребра, отличного от дерева ${ displaystyle (v, u_ {i})}$, ${ Displaystyle я <к}$; и
• [Cond2] края ${ displaystyle G _ { phi}}$ инцидент с вершиной ${ displaystyle v}$ без учета ${ Displaystyle (и_ {к-1}, в)}$ можно разбить на три непересекающихся (возможно, пустых) множества ${ displaystyle X_ {v}, Y_ {v}}$ и ${ displaystyle Z_ {v}}$ удовлетворяющие следующим условиям (а) - (в)
  • а) каждый из ${ Displaystyle X_ {v}}$ и ${ displaystyle Z_ {v}}$ представляет собой набор последовательных недеревьев ребер и ${ displaystyle Y_ {v}}$ представляет собой набор последовательных ребер дерева.
  • (б) Края набора ${ Displaystyle X_ {v}}$, ${ displaystyle Y_ {v}}$ и ${ displaystyle Z_ {v}}$ появляются по часовой стрелке в этом порядке от края ${ Displaystyle (и_ {к-1}, в)}$.
  • (c) Для каждого ребра ${ Displaystyle (v, v ') в X_ {v}}$, ${ displaystyle v '}$ содержится в ${ displaystyle T_ {u_ {i} ^ {L}}}$, ${ Displaystyle я <к}$, а для каждого ребра ${ displaystyle (v, v ') in Z_ {v}}$, ${ displaystyle v '}$ содержится в ${ displaystyle T_ {u_ {i} ^ {R}}}$, ${ Displaystyle я <к}$.
    

    Плоский граф ${ displaystyle G _ { phi}}$ (вверху) хорошее остовное дерево ${ displaystyle T}$ из ${ displaystyle G _ { phi}}$ (вниз) твердые ребра являются частью хорошего остовного дерева, а точечные ребра не являются ребрами дерева в ${ displaystyle G _ { phi}}$ относительно ${ displaystyle T}$.

Приложения

В монотонном рисовании графиков,^[2] в 2-видном представлении графиков.^[1]

Поиск хорошего остовного дерева

Каждый планарный граф ${ displaystyle G}$ имеет вложение ${ displaystyle G _ { phi}}$ такой, что ${ displaystyle G _ { phi}}$ содержит хорошее остовное дерево. Хорошее остовное дерево и подходящее вложение можно найти в ${ displaystyle G}$ в линейном времени.^[1] Не все вложения ${ displaystyle G}$ содержат хорошее остовное дерево.

Смотрите также

• Остовное дерево
• Реализатор Schnyder

Рекомендации