В теории специальные функции в математика , то Функции звукового сигнала (назван в честь Якоб Хорн ) являются 34 различными сходящимися гипергеометрический ряд второго порядка (т.е. имеющие две независимые переменные), пронумерованные Рог (1931) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFHorn1931 (помощь) (исправлено Борнгэссер (1933) ). Они перечислены в (Эрдейи 1953 , раздел 5.7.1) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFErdélyi1953 (помощь) . Б. К. Карлсон[1] [2]
F 1 ( α ; β , β ′ ; γ ; z , ш ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м + п ( β ) м ( β ′ ) п ( γ ) м + п z м ш п м ! п ! / ; | z | < 1 ∧ | ш | < 1 { displaystyle F_ {1} ( alpha; beta, beta '; gamma; z, w) Equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {m} ( beta ') _ {n}} {( gamma) _ {m + n}}} { гидроразрыв {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; | z | <1 land | w | <1} F 2 ( α ; β , β ′ ; γ , γ ′ ; z , ш ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м + п ( β ) м ( β ′ ) п ( γ ) м ( γ ′ ) п z м ш п м ! п ! / ; | z | + | ш | < 1 { Displaystyle F_ {2} ( альфа; бета, бета '; гамма, гамма'; z, ш) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {m} ( beta ') _ {n}} {( gamma) _ {m} ( гамма ') _ {n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; | z | + | w | <1} F 3 ( α , α ′ ; β , β ′ ; γ ; z , ш ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м ( α ′ ) п ( β ) м ( β ′ ) п ( γ ) м + п z м ш п м ! п ! / ; | z | < 1 ∧ | ш | < 1 { Displaystyle F_ {3} ( альфа, альфа '; бета, бета'; гамма; z, ш) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m} ( alpha ') _ {n} ( beta) _ {m} ( beta') _ {n}} {( gamma ) _ {m + n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; | z | <1 land | w | <1} F 4 ( α ; β ; γ , γ ′ ; z , ш ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м + п ( β ) м + п ( γ ) м ( γ ′ ) п z м ш п м ! п ! / ; | z | + | ш | < 1 { Displaystyle F_ {4} ( альфа; бета; гамма, гамма '; z, w) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {m + n}} {( gamma) _ {m} ( gamma ') _ {n}}} { гидроразрыв {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; { sqrt {| z |}} + { sqrt {| w |}} <1} грамм 1 ( α ; β , β ′ ; z , ш ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м + п ( β ) п − м ( β ′ ) м − п z м ш п м ! п ! / ; | z | + | ш | < 1 { Displaystyle G_ {1} ( альфа; бета, бета '; z, ш) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} ( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {nm} ( beta ') _ {mn} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} / ; | z | + | w | <1} грамм 2 ( α , α ′ ; β , β ′ ; z , ш ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м ( α ′ ) п ( β ) п − м ( β ′ ) м − п z м ш п м ! п ! / ; | z | < 1 ∧ | ш | < 1 { Displaystyle G_ {2} ( альфа, альфа '; бета, бета'; z, ш) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} ( alpha) _ {m} ( alpha ') _ {n} ( beta) _ {nm} ( beta') _ {mn} { frac {z ^ {m} w ^ { n}} {m! n!}} /; | z | <1 land | w | <1} грамм 3 ( α , α ′ ; z , ш ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) 2 п − м ( α ′ ) 2 м − п z м ш п м ! п ! / ; 27 | z | 2 | ш | 2 + 18 | z | | ш | ± 4 ( | z | − | ш | ) < 1 { displaystyle G_ {3} ( alpha, alpha '; z, w) Equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} ( alpha ) _ {2n-m} ( alpha ') _ {2m-n} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! N!}} /; 27 | z | ^ {2} | w | ^ {2} +18 | z || w | pm 4 (| z | - | w |) <1} ЧАС 1 ( α ; β ; γ ; δ ; z , ш ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м − п ( β ) м + п ( γ ) п ( δ ) м z м ш п м ! п ! / ; 4 | z | | ш | + 2 | ш | − | ш | 2 < 1 { Displaystyle Н_ {1} ( альфа; бета; гамма; дельта; г, ш) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {m + n} ( gamma) _ {n}} {( delta) _ {m}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; 4 | z || w | +2 | w | - | w | ^ {2} <1} ЧАС 2 ( α ; β ; γ ; δ ; ϵ ; z , ш ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м − п ( β ) м ( γ ) п ( δ ) п ( δ ) м z м ш п м ! п ! / ; 1 / | ш | − | z | < 1 { Displaystyle Н_ {2} ( альфа; бета; гамма; дельта; эпсилон; z, ш) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {m} ( gamma) _ {n} ( delta) _ {n}} {( delta) _ {m }}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; 1 / | w | - | z | <1} ЧАС 3 ( α ; β ; γ ; z , ш ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) 2 м + п ( β ) п ( γ ) м + п z м ш п м ! п ! / ; | z | + | ш | 2 − | ш | < 0 { Displaystyle Н_ {3} ( альфа; бета; гамма; z, ш) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m + n} ( beta) _ {n}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; | z | + | w | ^ {2} - | w | <0} ЧАС 4 ( α ; β ; γ ; δ ; z , ш ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) 2 м + п ( β ) п ( γ ) м ( δ ) п z м ш п м ! п ! / ; 4 | z | + 2 | ш | − | ш | 2 < 1 { Displaystyle Н_ {4} ( альфа; бета; гамма; дельта; г, ш) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m + n} ( beta) _ {n}} {( gamma) _ {m} ( delta) _ {n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; 4 | z | +2 | w | - | w | ^ {2} <1} ЧАС 5 ( α ; β ; γ ; z , ш ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) 2 м + п ( β ) п − м ( γ ) п z м ш п м ! п ! / ; 16 | z | 2 − 36 | z | | ш | ± ( 8 | z | − | ш | + 27 | z | | ш | 2 ) < − 1 { Displaystyle Н_ {5} ( альфа; бета; гамма; z, ш) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m + n} ( beta) _ {nm}} {( gamma) _ {n}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m ! n!}} /; 16 | z | ^ {2} -36 | z || w | pm (8 | z | - | w | +27 | z || w | ^ {2}) <- 1 } ЧАС 6 ( α ; β ; γ ; z , ш ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) 2 м − п ( β ) п − м ( γ ) п z м ш п м ! п ! / ; | z | | ш | 2 + | ш | < 1 { Displaystyle Н_ {6} ( альфа; бета; гамма; z, ш) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} ( alpha) _ {2m-n} ( beta) _ {nm} ( gamma) _ {n} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; | z || w | ^ {2} + | w | <1} ЧАС 7 ( α ; β ; γ ; δ ; z , ш ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) 2 м − п ( β ) п ( γ ) п ( δ ) м z м ш п м ! п ! / ; 4 | z | + 2 / | s | − 1 / | s | 2 < 1 { Displaystyle Н_ {7} ( альфа; бета; гамма; дельта; г, ш) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m-n} ( beta) _ {n} ( gamma) _ {n}} {( delta) _ {m}}} { frac {z ^ {m} w ^ {n}} {m! n!}} /; 4 | z | + 2 / | s | -1 / | s | ^ {2} <1} в то время как конфлюэнтные функции включают:
Φ 1 ( α ; β ; γ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м + п ( β ) м ( γ ) м + п Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Phi _ {1} влево ( альфа; бета; гамма; х, у вправо) экв сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {m}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {x ^ {m} у ^ {п}} {м! п!}}} Φ 2 ( β , β ′ ; γ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( β ) м ( β ′ ) п ( γ ) м + п Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Phi _ {2} влево ( бета, бета '; гамма; х, у вправо) экв сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0 } ^ { infty} { frac {( beta) _ {m} ( beta ') _ {n}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {x ^ {m} у ^ {п}} {м! п!}}} Φ 3 ( β ; γ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( β ) м ( γ ) м + п Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Phi _ {3} влево ( бета; гамма; х, у вправо) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( beta) _ {m}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}} } Ψ 1 ( α ; β ; γ , γ ′ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м + п ( β ) м ( γ ) м ( γ ′ ) п Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Psi _ {1} left ( alpha; beta; gamma, gamma '; x, y right) Equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ { n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n} ( beta) _ {m}} {( gamma) _ {m} ( gamma ') _ {n} }} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} Ψ 2 ( α ; γ , γ ′ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м + п ( γ ) м ( γ ′ ) п Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Psi _ {2} влево ( альфа; гамма, гамма '; х, у вправо) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0 } ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m + n}} {( gamma) _ {m} ( gamma ') _ {n}}} { frac {x ^ {m} у ^ {п}} {м! п!}}} Ξ 1 ( α , α ′ ; β ; γ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м ( α ′ ) п ( β ) м ( γ ) м + п ( γ ′ ) п Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Xi _ {1} left ( alpha, alpha '; beta; gamma; x, y right) Equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ { n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m} ( alpha ') _ {n} ( beta) _ {m}} {( gamma) _ {m + n} ( gamma ') _ {n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} Ξ 2 ( α ; β ; γ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м ( α ) м ( γ ) м + п Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Xi _ {2} влево ( альфа; бета; гамма; х, у вправо) экв сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {m} ( alpha) _ {m}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} Γ 1 ( α ; β , β ′ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м ( β ) п − м ( β ′ ) м − п Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Gamma _ {1} влево ( альфа; бета, бета '; х, у вправо) экв сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0 } ^ { infty} ( alpha) _ {m} ( beta) _ {nm} ( beta ') _ {mn} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n !}}} Γ 2 ( β , β ′ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( β ) п − м ( β ′ ) м − п Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Gamma _ {2} left ( beta, beta '; x, y right) Equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} ( beta) _ {nm} ( beta ') _ {mn} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} ЧАС 1 ( α ; β ; δ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м − п ( β ) м + п ( δ ) м Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Н_ {1} влево ( альфа; бета; дельта; х, у вправо) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {m + n}} {( delta) _ {m}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n }} {м! п!}}} ЧАС 2 ( α ; β ; γ ; δ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м − п ( β ) м ( γ ) п ( δ ) м Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Н_ {2} влево ( альфа; бета; гамма; дельта; х, у вправо) экв сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0 } ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {m} ( gamma) _ {n}} {( delta) _ {m}}} { frac { х ^ {м} у ^ {п}} {м! п!}}} ЧАС 3 ( α ; β ; δ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м − п ( β ) м ( ( δ ) м Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Н_ {3} влево ( альфа; бета; дельта; х, у вправо) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {m}} {(( delta) _ {m}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n} } {м! п!}}} ЧАС 4 ( α ; γ ; δ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м − п ( γ ) п ( δ ) п Икс м у п м ! п ! { displaystyle H_ {4} left ( alpha; gamma; delta; x, y right) Equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( gamma) _ {n}} {( delta) _ {n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {м! п!}}} ЧАС 5 ( α ; δ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м − п ( δ ) м Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Н_ {5} влево ( альфа; дельта; х, у вправо) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn}} {( delta) _ {m}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} ЧАС 6 ( α ; γ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) 2 м + п ( γ ) м + п Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Н_ {6} влево ( альфа; гамма; х, у вправо) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m + n}} {( gamma) _ {m + n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}} } ЧАС 7 ( α ; γ ; δ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) 2 м + п ( γ ) м ( δ ) п Икс м у п м ! п ! { displaystyle H_ {7} left ( alpha; gamma; delta; x, y right) Equiv sum _ {m = 0} ^ { infty} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m + n}} {( gamma) _ {m} ( delta) _ {n}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n }} {м! п!}}} ЧАС 8 ( α ; β ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) 2 м − п ( β ) п − м Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Н_ {8} влево ( альфа; бета; х, у вправо) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} ( alpha) _ {2m-n} ( beta) _ {nm} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} ЧАС 9 ( α ; β ; δ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) 2 м − п ( β ) п ( δ ) м Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Н_ {9} влево ( альфа; бета; дельта; х, у справа) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m-n} ( beta) _ {n}} {( delta) _ {m}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n }} {м! п!}}} ЧАС 10 ( α ; δ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) 2 м − п ( δ ) м Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Н_ {10} влево ( альфа; дельта; х, у вправо) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0} ^ { infty} { frac {( alpha) _ {2m-n}} {( delta) _ {m}}} { frac {x ^ {m} y ^ {n}} {m! n!}}} ЧАС 11 ( α ; β ; γ ; δ ; Икс , у ) ≡ ∑ м = 0 ∞ ∑ п = 0 ∞ ( α ) м − п ( β ) п ( γ ) п ( δ ) м Икс м у п м ! п ! { Displaystyle Н_ {11} влево ( альфа; бета; гамма; дельта; х, у вправо) эквив сумма _ {м = 0} ^ { infty} сумма _ {п = 0 } ^ { infty} { frac {( alpha) _ {mn} ( beta) _ {n} ( gamma) _ {n}} {( delta) _ {m}}} { frac { х ^ {м} у ^ {п}} {м! п!}}} Обратите внимание, что некоторые из полных и сливных функций имеют одинаковую нотацию.
Рекомендации Борнгэссер, Людвиг (1933), Über hypergeometrische funkionen zweier Veränderlichen , Диссертация, Дармштадт Эрдели, Артур; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1953), Высшие трансцендентные функции. Том I (PDF) , McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон, МИСТЕР 0058756 Хорн, Дж. (1935), "Hypergeometrische Funktionen zweier Veränderlichen" , Mathematische Annalen , 105 (1): 381–407, Дои :10.1007 / BF01455825 Дж. Хорн Математика. Анна. 111 , 637 (1933) Srivastava, H.M .; Карлссон, Пер В. (1985), Кратные гипергеометрические ряды Гаусса , Серия Эллиса Хорвуда: Математика и ее приложения, Чичестер: Ellis Horwood Ltd., ISBN 978-0-85312-602-7 МИСТЕР 0834385
