Мгновенное безумие - Википедия - Instant Insanity

Головоломка Instant Insanity в «решенной» конфигурации. Цвета (слева направо) на задней части кубиков: синий, красный, зеленый и белый. Внизу (слева направо) WGBR.

Мгновенное безумие это имя, данное Братья Паркер к их версии головоломки 1967 года, которая существовала с древних времен и продавалась многими производителями игрушек и головоломок под разными названиями, в том числе: Дьявольские кости (Прессман ); DamBlocks (Шапер); Logi-Qubes (Шеффер); Кубики Логи (ThinkinGames); Даффи Дотс (Рейсс); Эти блоки (Остин); ПсихоНозис (Идеи от А до Я) и многие другие.[1]

Головоломка состоит из четырех кубиков с гранями, раскрашенными в четыре цвета (обычно красный, синий, зеленый и белый). Задача головоломки - сложить эти кубики в столбец так, чтобы каждая сторона стопки (передняя, ​​задняя, ​​левая и правая) отображала каждый из четырех цветов. Распределение цветов на каждом кубике уникально.

У этой проблемы есть теоретико-графовый решение, в котором граф с четырьмя вершинами, обозначенными B, G, R, W (для синего, зеленого, красного и белого), может быть использован для представления каждого куба; между двумя вершинами есть ребро, если два цвета находятся на противоположных сторонах куба, и петля в вершине, если противоположные стороны имеют одинаковый цвет. Метод проб и ошибок - медленный способ решить эту проблему, поскольку существует 331 776 возможных расположений четырех кубов (6 граней, 4 поворота = 24 позиции каждого куба, умноженные на четыре куба, всего 331 776). И решение является симметричным 8 способами (если у вас есть решение, и вы перевернете все четыре куба вперед, у вас есть другое допустимое решение. Вы можете сделать это, переместившись в 4 раза, умноженное на поворот каждого куба на 180 градусов вокруг его вертикальной оси. , что дает в общей сложности 8 симметрий), поэтому шансы 331 776 делить на 8 равны 41 472 шансам случайного подбрасывания кубиков в раствор. Загадку изучает Д. Э. Кнут в статье об оценке времени выполнения процедур исчерпывающего поиска с возвратом.[2]

Каждая позиция головоломки может быть решена за восемь или менее ходов.[3]

Первая известная запатентованная версия головоломки была создана Фредериком А. Шоссовым в 1900 году и продавалась как Katzenjammer головоломка.[4] Головоломку воссоздал Франц Оуэн Армбрустер, также известный как Фрэнк Армбрустер, и независимо опубликованы Братья Паркер и Прессман в 1967 году. Только компанией Parker Brothers было продано более 12 миллионов головоломок. Головоломка похожа или идентична множеству других головоломок.[5][6] (например., Великий мучитель, около 1940 года и самое популярное имя до Мгновенное безумие).

Одна из версий головоломки в настоящее время продается Победные ходы.

Решение

Учитывая уже окрашенные кубы и четыре различных цвета (красный, зеленый, синий, белый), мы попытаемся создать график, который дает четкое изображение всех положений цветов во всех кубах. Результирующий граф будет содержать четыре вершины, по одной для каждого цвета, и мы пронумеруем каждое ребро от одного до четырех (одно число для каждого куба). Если ребро соединяет две вершины (красную и зеленую), а число ребер равно трем, то это означает, что у третьего куба красная и зеленая грани противоположны друг другу.

Четыре кубика и их цвета
График, образованный четырьмя кубиками

Чтобы найти решение этой проблемы, нам понадобится расположение четырех граней каждого из кубов. Чтобы представить информацию о двух противоположных гранях всех четырех кубов, нам нужен ориентированный подграф вместо неориентированного, потому что два направления могут представлять только две противоположные грани, но не то, должна ли грань быть спереди или сзади.

Итак, если у нас есть два направленных подграфа, мы можем фактически представить все четыре грани (которые имеют значение) всех четырех кубов.

  • Первый ориентированный граф будет представлять переднюю и заднюю грани.
  • Второй ориентированный граф будет представлять левую и правую грани.

Мы не можем случайным образом выбрать любые два подграфа - так каковы критерии выбора?

Нам нужно выбрать такие графики, чтобы:

  1. у этих двух подграфов нет общих ребер, потому что если есть общее ребро, это означает, что по крайней мере один куб имеет пару противоположных граней одного цвета. Это означает, что куб имеет красный и синий как переднюю и заднюю грань, так и левую и правую грань.
  2. подграф содержит только одно ребро из каждого куба, потому что подграф должен учитывать все кубы, а одно ребро может полностью представлять пару противоположных граней.
  3. подграф может содержать только вершины степени два, потому что степень два означает, что цвет может присутствовать только на гранях двух кубов. Легкий способ понять, что есть восемь лиц, которые поровну разделены на четыре цвета. Итак, по два на цвет.

После понимания этих ограничений, если мы попытаемся вывести два подграфа, мы можем получить один возможный набор, как показано на Рисунке 3. Каждый цвет ребер представляет собой куб.

Изображения - это шаги к решению проблемы мгновенного безумия

Из первого подграфа мы выведем цвета передней и задней граней соответствующего куба. Например:

  1. Черная стрелка от белого к синему говорит о том, что у первого куба будет белый на лицевой стороне и синий на задней.
  2. Синяя стрелка от зеленого к белому говорит о том, что у второго куба будет зеленый на передней грани и белый на задней.
  3. Оранжевая стрелка от синего к красному говорит, что у третьего куба будет синий на лицевой стороне и красный на задней.
  4. Фиолетовая стрелка от красного к зеленому говорит, что у четвертого куба будет красный на лицевой стороне и зеленый на задней.

Из второго подграфа мы получим цвета левой и правой граней соответствующего куба. Например:

  1. Черная стрелка от красного к зеленому говорит, что первый кубик будет иметь красный цвет на левой грани и зеленый на правой.
  2. Синяя стрелка от синего к красному говорит, что у второго куба будет синий на левой грани и красный на правой.
  3. Оранжевая стрелка от желтого к синему говорит о том, что у третьего куба будет белый на левой грани и синий на правой.
  4. Фиолетовая стрелка от зеленого к белому говорит, что у четвертого куба будет зеленый на левой стороне и белый на правой.

На третьем изображении показан полученный стек куба, который является решением проблемы.

Важно отметить, что:

  1. Вы можете произвольно пометить кубы, так как одно такое решение будет отображать еще 23, поменяв местами кубы, но не меняя их конфигурации.
  2. Два направленных подграфа могут представлять собой попеременно и слева направо взаимозаменяемо, то есть один из них может представлять спереди назад. или же слева направо. Это потому, что одно такое решение также визуализирует еще 3 просто вращением. Добавляя эффект в 1., мы генерируем еще 95 решений, предоставляя только одно. Для сравнения, такие четыре куба могут генерировать 243 × 3 = 41472 конфигурации.
  3. это нет Важно обратить внимание на верх и низ стопки кубиков.[7]

Обобщения

Для n кубов, грани каждого из которых окрашены в один из n цветов, определяется, можно ли сложить кубики так, чтобы каждый цвет появлялся ровно один раз на каждой из 4 сторон стопки. НП-полный.[8][9]

В игра с укладкой кубов представляет собой версию этой головоломки для двух игроков. Получив упорядоченный список кубов, игроки по очереди добавляют следующий кубик в верхнюю часть растущей стопки кубиков. Проигравший - первый игрок, добавивший куб, из-за которого на одной из четырех сторон стопки цвет повторяется более одного раза. Робертсон и Манро[10] доказал, что эта игра PSPACE-полный, который иллюстрирует наблюдение, что NP-полные головоломки обычно приводят к PSPACE-полным играм.

Рекомендации

  1. ^ Дьявольские кости
  2. ^ Кнут, Д. Э. (1975), "Оценка эффективности программ с возвратом", Математика. Комп., 29: 132–136, Дои:10.1090 / S0025-5718-1975-0373371-6
  3. ^ https://habrahabr.ru/post/336858/(на русском)
  4. ^ Патент США № 646463.
  5. ^ Slocum; Ботерманс (1986), Пазлы Старое и Новое, п. 38
  6. ^ «Архивная копия». Архивировано из оригинал на 2007-10-22. Получено 2007-08-12.CS1 maint: заархивированная копия как заголовок (связь)
  7. ^ Beeler, R .; Instant Insanity: дополнительный материал для введения в теорию графов; Депр. математики и статистики, Государственный университет Восточного Теннесси; Джонсон-Сити, Теннесси: 2017
  8. ^ Garey, M. R .; Джонсон, Д. С. (1979), Компьютеры и недостижимость: руководство по теории NP-полноты, W.H. Фримен, стр. 258 (проблема GP15);
  9. ^ Робертсон, Э .; Манро, И. (1978), "NP-полнота, головоломки и игры", Util. Математика., 13: 99–116.
  10. ^ Робертсон, Эдвард; Манро, Ян (1978). «NP-полнота, головоломки и игры». Utilitas Mathematica. 13: 99–116.
  • Slocum; Ботерманс (1987), Пазлы Старое и Новое, Сиэтл: Вашингтонский университет Press, стр. 38, ISBN  0-295-96579-7