Дисциплина типа пересечения - Intersection type discipline

В математическая логика, то дисциплина типа перекрестка это филиал теория типов охватывающий системы типов которые используют конструктор типа пересечения ${ displaystyle ( cap)}$ присвоить несколько типов одному термину.^[1]В частности, если срок ${ displaystyle M}$ может быть назначен обе тип ${ displaystyle varphi _ {1}}$ и тип ${ displaystyle varphi _ {2}}$ , тогда ${ displaystyle M}$ можно присвоить тип пересечения ${ displaystyle varphi _ {1} cap varphi _ {2}}$ (и наоборот). Таким образом, конструктор типа пересечения может использоваться для выражения конечных неоднородных специальный полиморфизм (в отличие от параметрический полиморфизм Например, λ-член ${ Displaystyle лямбда х. ! (х ; х)}$ можно присвоить тип ${ Displaystyle (( альфа к бета) кепке альфа) к бета}$ в большинстве систем типов пересечений, предполагая в качестве термопеременной ${ displaystyle x}$ оба типа функции ${ displaystyle alpha to beta}$ и соответствующий тип аргумента ${ displaystyle alpha}$ .

Известные системы типов перекрестков включают систему присвоения типов Коппо-Дезани,^[2] система присвоения типов Барендрегта-Коппо-Дезани,^[3] и система присвоения основных типов перекрестков.^[4]Наиболее поразительно то, что системы типов пересечений тесно связаны (и часто точно характеризуют) свойства нормализации λ-члены под β-редукция.

В языках программирования, таких как TypeScript^[5] и Scala,^[6] типы пересечений используются для выражения специальный полиморфизм.

История

Дисциплина типа перекресток была впервые предложена Марио Коппо, Мариангиола Дезани-Чанкаглини, Патрик Салле и Гаррель Поттинджер.^[2]^[7]^[8]Основная мотивация заключалась в изучении семантических свойств (таких как нормализация ) из λ-исчисление посредством теория типов.^[9]В то время как первоначальная работа Коппо и Дезани установила теоретико-типовую характеризацию сильной нормализации для λI-исчисления,^[2] Поттинджер распространил эту характеризацию на λK-исчисление.^[7]Кроме того, Салле внесло понятие универсального типа. ${ displaystyle omega}$ который можно сопоставить любому λ-члену, тем самым соответствуя пустому пересечению.^[8]Использование универсального типа ${ displaystyle omega}$ позволил провести детальный анализ нормализации, нормализации и строгой нормализации.^[10]В сотрудничестве с Хенк Барендрегт была дана λ-модель фильтра для системы типов пересечений, еще более тесно связавшая типы пересечений с семантикой λ-исчисления.

Из-за соответствия с нормализацией, типичность в выдающихся системах типа пересечений (исключая универсальный тип) неразрешимый. Дополнительно, неразрешимость двойственной проблемы тип проживания в известных системах типа перекрестков был доказан Павлом Уржичином.^[11]Позже этот результат был уточнен, показывая экспоненциальная полнота пространства жилья типа пересечения 2-го ранга и неразрешимость жилого помещения 3 ранга пересечения.^[12]Примечательно, что главный тип обитания разрешим в полиномиальное время.^[13]

Система присвоения типов Коппо-Дезани

В Система присвоения типов Коппо-Дезани ${ displaystyle ( vdash _ { text {CD}})}$ расширяет просто типизированное λ-исчисление позволяя использовать несколько типов для переменной-терма.^[2]

Термин язык

Термин "язык" ${ displaystyle ( vdash _ { text {CD}})}$ дан кем-то λ-члены (или же, лямбда-выражения ):

{ displaystyle { begin {align} M, N & :: = x mid ( lambda x. ! M) mid (M ; N) && { text {where}} x { text {выходит за пределы переменные термина}} конец {выровнено}}}

Тип языка

Типовой язык ${ displaystyle ( vdash _ { text {CD}})}$ индуктивно определяется следующей грамматикой:

{ displaystyle { begin {align} varphi & :: = alpha mid sigma to varphi && { text {where}} alpha { text {диапазоны переменных типа}} sigma & :: = varphi _ {1} cap cdots cap varphi _ {n} && { text {where}} n geq 1 end {выровнено}}}

Конструктор типа пересечения ( ${ displaystyle cap}$ ) берется по модулю ассоциативности, коммутативности и идемпотентности.

Тип правила

В правила типа ${ displaystyle ( to ! ! { text {I}})}$ , ${ Displaystyle ( к ! ! { текст {E}})}$ , ${ displaystyle ( cap { text {I}})}$ , и ${ displaystyle ( cap { text {E}})}$ из ${ displaystyle ( vdash _ { text {CD}})}$ находятся:

{ displaystyle { begin {array} {cc} { dfrac { Gamma, x: sigma vdash _ { text {CD}} M: varphi} { Gamma vdash _ { text {CD} } lambda x. ! M: sigma to varphi}} ( to ! ! { text {I}}) & { dfrac { Gamma vdash _ { text {CD}} M : sigma to varphi quad Gamma vdash _ { text {CD}} N: sigma} { Gamma vdash _ { text {CD}} M ; N: varphi}} ( в ! ! { text {E}}) { dfrac { Gamma vdash _ { text {CD}} M: varphi _ {1} quad ldots quad Gamma vdash _ { text {CD}} M: varphi _ {n}} { Gamma vdash _ { text {CD}} M: varphi _ {1} cap cdots cap varphi _ {n }}} ( cap { text {I}}) & { dfrac {(1 leq i leq n)} { Gamma, x: varphi _ {1} cap cdots cap varphi _ {n} vdash _ { text {CD}} x: varphi _ {i}}} ( cap { text {E}}) end {array}}}

Характеристики

Типичность и нормализация тесно связаны в ${ displaystyle ( vdash _ { text {CD}})}$ по следующим свойствам:^[2]

Уменьшение темы: Если ${ displaystyle Gamma vdash _ { text {CD}} M: sigma}$ и ${ displaystyle M to _ { beta} N}$ , тогда ${ displaystyle Gamma vdash _ { text {CD}} N: sigma}$ .
Нормализация: Если ${ displaystyle Gamma vdash _ { text {CD}} M: sigma}$ , тогда ${ displaystyle M}$ имеет β-нормальная форма.
Типичность сильно нормализующий λ-члены: Если ${ displaystyle M}$ является сильно нормализующий, тогда ${ displaystyle Gamma vdash _ { text {CD}} M: sigma}$ для некоторых ${ displaystyle Gamma}$ и ${ displaystyle sigma}$ .
Характеристика λI-нормализации: ${ displaystyle M}$ имеет нормальную форму в λI-исчислении тогда и только тогда, когда ${ displaystyle Gamma vdash _ { text {CD}} M: sigma}$ для некоторых ${ displaystyle Gamma}$ и ${ displaystyle sigma}$ .

Если язык типов расширен, чтобы содержать пустое пересечение, т.е. ${ displaystyle sigma = varphi _ {1} cap cdots cap varphi _ {n} { text {where}} n = 0}$ , тогда ${ displaystyle ( vdash _ { text {CD}})}$ замкнут относительно β-равенства и является надежным и полным для семантики вывода.^[14]

Система присвоения типов Барендрегта – Коппо – Дезани

В Система присвоения типов Барендрегта – Коппо – Дезани ${ displaystyle ( vdash _ { text {BCD}})}$ расширяет систему присвоения типов Коппо-Дезани в следующих трех аспектах:^[3]

${ displaystyle ( vdash _ { text {BCD}})}$ вводит константа универсального типа ${ displaystyle omega}$ (сродни пустому пересечению), которое можно сопоставить любому λ-члену.
${ displaystyle ( vdash _ { text {BCD}})}$ позволяет конструктор типа пересечения ${ displaystyle ( cap)}$ для отображения справа от конструктора типа стрелки ${ Displaystyle ( к)}$ .
${ displaystyle ( vdash _ { text {BCD}})}$ вводит подтип типа пересечения ${ Displaystyle ( Leq)}$ частичный порядок типов вместе с соответствующим правилом типизации.

Термин язык

Термин "язык" ${ displaystyle ( vdash _ { text {BCD}})}$ дан кем-то λ-члены (или же, лямбда-выражения ):

{ displaystyle { begin {align} M, N & :: = x mid ( lambda x. ! M) mid (M ; N) && { text {where}} x { text {выходит за пределы переменные термина}} конец {выровнено}}}

Тип языка

Типовой язык ${ displaystyle ( vdash _ { text {BCD}})}$ индуктивно определяется следующей грамматикой:

{ displaystyle { begin {align} sigma, tau & :: = alpha mid omega mid sigma to tau mid sigma cap tau && { text {where}} alpha { text {переходит в переменные типа}} end {выравнивается}}}

Подтипирование типа пересечения

Подтипирование типа пересечения ${ Displaystyle ( Leq)}$ определяется как наименьший Предварительный заказ (рефлексивный и переходный отношение) над типами пересечений, удовлетворяющими следующим свойствам:

{ Displaystyle { begin {выровнен} & sigma leq omega, quad omega leq omega to omega, quad sigma cap tau leq sigma, quad sigma cap tau leq tau, & ( sigma to tau _ {1}) cap ( sigma to tau _ {2}) leq sigma to tau _ {1} cap tau _ {2}, & { text {if}} sigma leq tau _ {1} { text {and}} sigma leq tau _ {2} { text {, затем} } sigma leq tau _ {1} cap tau _ {2}, & { text {if}} sigma _ {2} leq sigma _ {1} { text {и} } tau _ {1} leq tau _ {2} { text {, затем}} sigma _ {1} to tau _ {1} leq sigma _ {2} to tau _ {2} end {align}}}

Подтипирование типа пересечения разрешимо за квадратичное время.^[15]

Тип правила

В правила типа ${ displaystyle ( to ! ! { text {I}})}$ , ${ Displaystyle ( к ! ! { текст {E}})}$ , ${ displaystyle ( cap { text {I}})}$ , ${ Displaystyle ( Leq)}$ , ${ displaystyle ({ text {A}})}$ , и ${ displaystyle ( omega)}$ из ${ displaystyle ( vdash _ { text {BCD}})}$ находятся:

{ displaystyle { begin {array} {cc} { dfrac { Gamma, x: sigma vdash _ { text {BCD}} M: tau} { Gamma vdash _ { text {BCD} } lambda x. ! M: sigma to tau}} ( to ! ! { text {I}}) & { dfrac { Gamma vdash _ { text {BCD}} M : sigma to tau quad Gamma vdash _ { text {BCD}} N: sigma} { Gamma vdash _ { text {BCD}} M ; N: tau}} ( в ! ! { text {E}}) { dfrac { Gamma vdash _ { text {BCD}} M: sigma quad Gamma vdash _ { text {BCD} } M: tau} { Gamma vdash _ { text {BCD}} M: sigma cap tau}} ( cap { text {I}}) & { dfrac { Gamma vdash _ { text {BCD}} M: sigma quad ( sigma leq tau)} { Gamma vdash _ { text {BCD}} M: tau}} ( leq) { dfrac {} { Gamma, x: sigma vdash _ { text {BCD}} x: sigma}} ({ text {A}}) & { dfrac {} { Gamma vdash _ { text {BCD}} M: omega}} ( omega) end {array}}}

Характеристики

Семантика: ${ displaystyle ( vdash _ { text {BCD}})}$ надежно и полно написано. λ-модель фильтра, в которой интерпретация λ-члена совпадает с набором типов, которые могут быть ему присвоены.^[3]
Уменьшение темы: Если ${ displaystyle Gamma vdash _ { text {BCD}} M: sigma}$ и ${ displaystyle M to _ { beta} N}$ , тогда ${ displaystyle Gamma vdash _ { text {BCD}} N: sigma}$ .^[3]
Расширение темы: Если ${ displaystyle Gamma vdash _ { text {BCD}} N: sigma}$ и ${ displaystyle M to _ { beta} N}$ , тогда ${ displaystyle Gamma vdash _ { text {BCD}} M: sigma}$ .^[3]
Характеристика сильная нормализация: ${ displaystyle M}$ сильно нормализирует по отношению к. β-редукция, если и только если ${ displaystyle Gamma vdash _ { text {BCD}} M: sigma}$ выводится без правила ${ displaystyle ( omega)}$ для некоторых ${ displaystyle Gamma}$ и ${ displaystyle sigma}$ .^[16]
Основные пары: Если ${ displaystyle M}$ сильно нормализирует, то существует главная пара ${ displaystyle ( Gamma, sigma)}$ так что для любого набора текста ${ displaystyle Gamma ' vdash _ { text {BCD}} M: sigma'}$ пара ${ Displaystyle ( Gamma ', sigma')}$ можно получить из главной пары ${ displaystyle ( Gamma, sigma)}$ с помощью расширений, подъемов и замен типов.^[17]

Рекомендации

^ Хенк Барендрегт; Вил Деккерс; Ричард Статман (20 июня 2013 г.). Лямбда-исчисление с типами. Издательство Кембриджского университета. стр. 1–. ISBN 978-0-521-76614-2.
^ ^а ^б ^c ^d ^е Коппо, Марио; Дезани-Чианкаглини, Мариангиола (1980). «Расширение основной теории функциональности для λ-исчисления». Журнал формальной логики Нотр-Дам. 21 (4): 685–693. Дои:10.1305 / ndjfl / 1093883253.
^ ^а ^б ^c ^d ^е Барендрегт, Хенк; Коппо, Марио; Дезани-Чианкаглини, Мариангиола (1983). «Лямбда-модель фильтра и полнота присвоения типов». Журнал символической логики. 48 (4): 931–940. Дои:10.2307/2273659. JSTOR 2273659.
^ ван Бакель, Штеффен (2011). «Типы строгих пересечений для лямбда-исчисления». Опросы ACM Computing. 43 (3): 20:1–20:49. Дои:10.1145/1922649.1922657.
^ «Типы пересечений в TypeScript». Получено 2019-08-01.
^ «Составные типы в Scala». Получено 2019-08-01.
^ ^а ^б Поттинджер, Г. (1980). Присвоение типа сильно нормализуемым λ-членам. Х. Б. Карри: очерки комбинаторной логики, лямбда-исчисления и формализма, 561-577.
^ ^а ^б Коппо, Марио; Дезани-Чианкаглини, Мариангиола; Салле, Патрик (1979). «Функциональная характеристика некоторых семантических равенств внутри лямбда-исчисления». В Герман А. Маурер (ред.). Автоматы, языки и программирование, 6-й коллоквиум, Грац, Австрия, 16-20 июля 1979 г., Труды. 71. Springer. С. 133–146. Дои:10.1007/3-540-09510-1_11. ISBN 3-540-09510-1.
^ Коппо, Марио; Дезани-Чианкаглини, Мариангиола (1978). «Присвоение нового типа λ-термам». Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung. 19 (1): 139–156. Дои:10.1007 / BF02011875.
^ Коппо, Марио; Дезани-Чианкаглини, Мариангиола; Веннери, Бетти (1981). «Функциональные символы решаемых терминов». Mathematical Logic Quarterly. 27 (2–6): 45–58. Дои:10.1002 / malq.19810270205.
^ Уржичин, Павел (1999). «Проблема пустоты для типов перекрестков». Журнал символической логики. 64 (3): 1195–1215. Дои:10.2307/2586625. JSTOR 2586625.
^ Уржичин, Павел (2009). «Обитание низкоранговых типов перекрестков». Международная конференция по типизированным лямбда-исчислениям и приложениям. TLCA 2009. 5608. Springer. С. 356–370. Дои:10.1007/978-3-642-02273-9_26. ISBN 978-3-642-02272-2.
^ Дуденхефнер, Андрей; Rehof, Якоб (2019). «Принцип и приближение при размерной границе». Труды ACM по языкам программирования. POPL 2019. 3. ACM. С. 8: 1–8: 29. Дои:10.1145/3290321. ISSN 2475-1421.
^ Ван Бакель, Штеффен (1992). «Полные ограничения дисциплины типа перекресток». Теоретическая информатика. 102 (1): 135–163. Дои:10.1016 / 0304-3975 (92) 90297-С.
^ Дуденхефнер, Андрей; Мартенс, Мориц; Rehof, Якоб (2017). «Алгебраическая проблема объединения типа пересечения». Логические методы в информатике. 13 (3). Дои:10.23638 / LMCS-13 (3: 9) 2017 г..
^ Гилезан, Сильвия (1996). «Сильная нормализация и типизация с типами пересечений». Журнал формальной логики Нотр-Дам. 37 (1): 44–52. Дои:10.1305 / ndjfl / 1040067315.
^ Ронки Делла Рокка, Симона; Веннери, Бетти (1983). «Схемы главного типа для расширенной теории типов». Теоретическая информатика. 28 ((1-2)): 151–169. Дои:10.1016/0304-3975(83)90069-5.

[BDS13-1] Хенк Барендрегт; Вил Деккерс; Ричард Статман (20 июня 2013 г.). Лямбда-исчисление с типами. Издательство Кембриджского университета. стр. 1–. ISBN 978-0-521-76614-2.

[CD80-2] а ^б ^c ^d ^е Коппо, Марио; Дезани-Чианкаглини, Мариангиола (1980). «Расширение основной теории функциональности для λ-исчисления». Журнал формальной логики Нотр-Дам. 21 (4): 685–693. Дои:10.1305 / ndjfl / 1093883253.

[BCD83-3] а ^б ^c ^d ^е Барендрегт, Хенк; Коппо, Марио; Дезани-Чианкаглини, Мариангиола (1983). «Лямбда-модель фильтра и полнота присвоения типов». Журнал символической логики. 48 (4): 931–940. Дои:10.2307/2273659. JSTOR 2273659.

[B11-4] ван Бакель, Штеффен (2011). «Типы строгих пересечений для лямбда-исчисления». Опросы ACM Computing. 43 (3): 20:1–20:49. Дои:10.1145/1922649.1922657.

[TS-5] «Типы пересечений в TypeScript». Получено 2019-08-01.

[6] «Составные типы в Scala». Получено 2019-08-01.

[P80-7] а ^б Поттинджер, Г. (1980). Присвоение типа сильно нормализуемым λ-членам. Х. Б. Карри: очерки комбинаторной логики, лямбда-исчисления и формализма, 561-577.

[CDS79-8] а ^б Коппо, Марио; Дезани-Чианкаглини, Мариангиола; Салле, Патрик (1979). «Функциональная характеристика некоторых семантических равенств внутри лямбда-исчисления». В Герман А. Маурер (ред.). Автоматы, языки и программирование, 6-й коллоквиум, Грац, Австрия, 16-20 июля 1979 г., Труды. 71. Springer. С. 133–146. Дои:10.1007/3-540-09510-1_11. ISBN 3-540-09510-1.

[CD78-9] Коппо, Марио; Дезани-Чианкаглини, Мариангиола (1978). «Присвоение нового типа λ-термам». Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung. 19 (1): 139–156. Дои:10.1007 / BF02011875.

[CDV81-10] Коппо, Марио; Дезани-Чианкаглини, Мариангиола; Веннери, Бетти (1981). «Функциональные символы решаемых терминов». Mathematical Logic Quarterly. 27 (2–6): 45–58. Дои:10.1002 / malq.19810270205.

[U99-11] Уржичин, Павел (1999). «Проблема пустоты для типов перекрестков». Журнал символической логики. 64 (3): 1195–1215. Дои:10.2307/2586625. JSTOR 2586625.

[U09-12] Уржичин, Павел (2009). «Обитание низкоранговых типов перекрестков». Международная конференция по типизированным лямбда-исчислениям и приложениям. TLCA 2009. 5608. Springer. С. 356–370. Дои:10.1007/978-3-642-02273-9_26. ISBN 978-3-642-02272-2.

[DR19-13] Дуденхефнер, Андрей; Rehof, Якоб (2019). «Принцип и приближение при размерной границе». Труды ACM по языкам программирования. POPL 2019. 3. ACM. С. 8: 1–8: 29. Дои:10.1145/3290321. ISSN 2475-1421.

[VB92-14] Ван Бакель, Штеффен (1992). «Полные ограничения дисциплины типа перекресток». Теоретическая информатика. 102 (1): 135–163. Дои:10.1016 / 0304-3975 (92) 90297-С.

[DMR17-15] Дуденхефнер, Андрей; Мартенс, Мориц; Rehof, Якоб (2017). «Алгебраическая проблема объединения типа пересечения». Логические методы в информатике. 13 (3). Дои:10.23638 / LMCS-13 (3: 9) 2017 г..

[G96-16] Гилезан, Сильвия (1996). «Сильная нормализация и типизация с типами пересечений». Журнал формальной логики Нотр-Дам. 37 (1): 44–52. Дои:10.1305 / ndjfl / 1040067315.

[RDRV83-17] Ронки Делла Рокка, Симона; Веннери, Бетти (1983). «Схемы главного типа для расширенной теории типов». Теоретическая информатика. 28 ((1-2)): 151–169. Дои:10.1016/0304-3975(83)90069-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]