Инвариантная факторизация LPDO - Invariant factorization of LPDOs

Эта статья предоставляет недостаточный контекст для тех, кто не знаком с предметом. Пожалуйста помоги улучшить статью к обеспечение большего контекста для читателя. (Январь 2018) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В факторизация линейного дифференциального оператора в частных производных (LPDO) является важным вопросом теории интегрируемости из-за преобразований Лапласа-Дарбу,^[1] которые позволяют строить интегрируемые ЛПДУ. Лаплас решил проблему факторизации для двумерный гиперболический оператор второго порядка (видеть Гиперболическое уравнение в частных производных ), построив два инварианта Лапласа. Каждый Инвариант Лапласа - явное полиномиальное условие факторизации; коэффициенты этого полинома являются явными функциями от коэффициентов исходного LPDO. Полиномиальные условия факторизации называются инварианты потому что они имеют одинаковый вид для эквивалентных (т.е. самосопряженных) операторов.

Билс-Карташова-факторизация (также называемая BK-факторизацией) - это конструктивная процедура факторизации двумерный оператор произвольного порядка и произвольной формы. Соответственно, условия факторизации в этом случае также имеют полиномиальный вид, являются инвариантами и совпадают с инвариантами Лапласа для двумерных гиперболических операторов второго порядка. Процедура факторизации является чисто алгебраической, количество возможных факторизаций зависит от количества простых корней Характеристический полином (также называемый символом) исходного LPDO и сокращенных LPDO, появляющихся на каждом шаге факторизации. Ниже описана процедура факторизации для двумерного оператора произвольной формы порядка 2 и 3. Явные формулы факторизации для оператора порядка ${ displaystyle n}$ можно найти в^[2] Общие инварианты определены в^[3] и инвариантная формулировка факторизации Билса-Карташовой дана в^[4]

Билс-Карташова Факторизация

Оператор порядка 2

Рассмотрим оператора

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {2} = a_ {20} partial _ {x} ^ {2} + a_ {11} partial _ {x} partial _ {y} + a_ {02 } partial _ {y} ^ {2} + a_ {10} partial _ {x} + a_ {01} partial _ {y} + a_ {00}.}$

с гладкими коэффициентами и ищем факторизацию

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {2} = (p_ {1} partial _ {x} + p_ {2} partial _ {y} + p_ {3}) (p_ {4} partial _ {x} + p_ {5} partial _ {y} + p_ {6}).}$

Запишем уравнения на ${ displaystyle p_ {i}}$ явно, имея в виду правило оставили состав, т.е. что

${ displaystyle partial _ {x} ( alpha partial _ {y}) = partial _ {x} ( alpha) partial _ {y} + alpha partial _ {xy}.}$

Тогда во всех случаях

${ displaystyle a_ {20} = p_ {1} p_ {4},}$

${ displaystyle a_ {11} = p_ {2} p_ {4} + p_ {1} p_ {5},}$

${ displaystyle a_ {02} = p_ {2} p_ {5},}$

${ displaystyle a_ {10} = { mathcal {L}} (p_ {4}) + p_ {3} p_ {4} + p_ {1} p_ {6},}$

${ displaystyle a_ {01} = { mathcal {L}} (p_ {5}) + p_ {3} p_ {5} + p_ {2} p_ {6},}$

${ displaystyle a_ {00} = { mathcal {L}} (p_ {6}) + p_ {3} p_ {6},}$

где обозначение ${ Displaystyle { mathcal {L}} = p_ {1} partial _ {x} + p_ {2} partial _ {y}}$ используется.

Не теряя общий смысл, ${ displaystyle a_ {20} neq 0,}$ т.е. ${ displaystyle p_ {1} neq 0,}$ и его можно принять за 1, ${ displaystyle p_ {1} = 1.}$ Теперь решение системы 6 уравнений относительно переменных

${ displaystyle p_ {2},}$ ${ displaystyle ...}$ ${ displaystyle p_ {6}}$

можно найти в три шага.

На первом этапе, корни квадратичный многочлен нужно найти.

На втором этапе, линейная система два алгебраических уравнения должен быть решен.

На третьем этапе, одно алгебраическое условие должен быть проверен.

Шаг 1.Переменные

${ displaystyle p_ {2},}$ ${ displaystyle p_ {4},}$ ${ displaystyle p_ {5}}$

можно найти из первых трех уравнений,

${ displaystyle a_ {20} = p_ {1} p_ {4},}$

${ displaystyle a_ {11} = p_ {2} p_ {4} + p_ {1} p_ {5},}$

${ displaystyle a_ {02} = p_ {2} p_ {5}.}$

Тогда (возможные) решения являются функциями корней квадратичного многочлена:

${ displaystyle { mathcal {P}} _ {2} (- p_ {2}) = a_ {20} (- p_ {2}) ^ {2} + a_ {11} (- p_ {2}) + а_ {02} = 0}$

Позволять ${ displaystyle omega}$ быть корнем многочлена ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {2},}$тогда

${ displaystyle p_ {1} = 1,}$

${ displaystyle p_ {2} = - omega,}$

${ displaystyle p_ {4} = a_ {20},}$

${ displaystyle p_ {5} = a_ {20} omega + a_ {11},}$

Шаг 2.Подстановка результатов, полученных на первом шаге, в следующие два уравнения

${ displaystyle a_ {10} = { mathcal {L}} (p_ {4}) + p_ {3} p_ {4} + p_ {1} p_ {6},}$

${ displaystyle a_ {01} = { mathcal {L}} (p_ {5}) + p_ {3} p_ {5} + p_ {2} p_ {6},}$

дает линейную систему двух алгебраических уравнений:

${ displaystyle a_ {10} = { mathcal {L}} a_ {20} + p_ {3} a_ {20} + p_ {6},}$

${ displaystyle a_ {01} = { mathcal {L}} (a_ {11} + a_ {20} omega) + p_ {3} (a_ {11} + a_ {20} omega) - omega p_ {6}.,}$

В частности, если корень ${ displaystyle omega}$ просто, т.е.

${ displaystyle { mathcal {P}} _ {2} '( omega) = 2a_ {20} omega + a_ {11} neq 0,}$ тогда эти

уравнения имеют единственное решение:

${ displaystyle p_ {3} = { frac { omega a_ {10} + a_ {01} - omega { mathcal {L}} a_ {20} - { mathcal {L}} (a_ {20} omega + a_ {11})} {2a_ {20} omega + a_ {11}}},}$

${ displaystyle p_ {6} = { frac {(a_ {20} omega + a_ {11}) (a_ {10} - { mathcal {L}} a_ {20}) - a_ {20} (a_ {01} - { mathcal {L}} (a_ {20} omega + a_ {11}))} {2a_ {20} omega + a_ {11}}}.}.$

На этом шаге для каждого корня полинома ${ displaystyle { mathcal {P}} _ {2}}$ соответствующий набор коэффициентов ${ displaystyle p_ {j}}$ вычисляется.

Шаг 3.Проверить условие факторизации (последнее из 6 начальных уравнений)

${ displaystyle a_ {00} = { mathcal {L}} (p_ {6}) + p_ {3} p_ {6},}$

записано в известных переменных ${ displaystyle p_ {j}}$ и ${ displaystyle omega}$):

${ displaystyle a_ {00} = { mathcal {L}} left {{ frac { omega a_ {10} + a_ {01} - { mathcal {L}} (2a_ {20} omega + a_ {11})} {2a_ {20} omega + a_ {11}}} right } + { frac { omega a_ {10} + a_ {01} - { mathcal {L}} (2a_ {20} omega + a_ {11})} {2a_ {20} omega + a_ {11}}} times { frac {a_ {20} (a_ {01} - { mathcal {L}} ( a_ {20} omega + a_ {11})) + (a_ {20} omega + a_ {11}) (a_ {10} - { mathcal {L}} a_ {20})} {2a_ {20 } omega + a_ {11}}}}$

Если

${ displaystyle l_ {2} = a_ {00} - { mathcal {L}} left {{ frac { omega a_ {10} + a_ {01} - { mathcal {L}} (2a_ { 20} omega + a_ {11})} {2a_ {20} omega + a_ {11}}} right } + { frac { omega a_ {10} + a_ {01} - { mathcal { L}} (2a_ {20} omega + a_ {11})} {2a_ {20} omega + a_ {11}}} times { frac {a_ {20} (a_ {01} - { mathcal {L}} (a_ {20} omega + a_ {11})) + (a_ {20} omega + a_ {11}) (a_ {10} - { mathcal {L}} a_ {20}) } {2a_ {20} omega + a_ {11}}} = 0,}$

Оператор ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {2}}$ факторизуемый и явный вид для коэффициентов факторизации ${ displaystyle p_ {j}}$ приведено выше.

Оператор порядка 3

Рассмотрим оператора

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {3} = sum _ {j + k leq 3} a_ {jk} partial _ {x} ^ {j} partial _ {y} ^ {k} = a_ {30} partial _ {x} ^ {3} + a_ {21} partial _ {x} ^ {2} partial _ {y} + a_ {12} partial _ {x} partial _ {y} ^ {2} + a_ {03} partial _ {y} ^ {3} + a_ {20} partial _ {x} ^ {2} + a_ {11} partial _ {x} partial _ {y} + a_ {02} partial _ {y} ^ {2} + a_ {10} partial _ {x} + a_ {01} partial _ {y} + a_ {00}.}$

с гладкими коэффициентами и ищем факторизацию

${ displaystyle { mathcal {A}} _ {3} = (p_ {1} partial _ {x} + p_ {2} partial _ {y} + p_ {3}) (p_ {4} partial _ {x} ^ {2} + p_ {5} partial _ {x} partial _ {y} + p_ {6} partial _ {y} ^ {2} + p_ {7} partial _ {x } + p_ {8} partial _ {y} + p_ {9}).}$

Аналогично случаю оператора ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {2},}$ условия факторизации описываются следующей системой:

${ displaystyle a_ {30} = p_ {1} p_ {4},}$

${ displaystyle a_ {21} = p_ {2} p_ {4} + p_ {1} p_ {5},}$

${ displaystyle a_ {12} = p_ {2} p_ {5} + p_ {1} p_ {6},}$

${ displaystyle a_ {03} = p_ {2} p_ {6},}$

${ displaystyle a_ {20} = { mathcal {L}} (p_ {4}) + p_ {3} p_ {4} + p_ {1} p_ {7},}$

${ displaystyle a_ {11} = { mathcal {L}} (p_ {5}) + p_ {3} p_ {5} + p_ {2} p_ {7} + p_ {1} p_ {8},}$

${ displaystyle a_ {02} = { mathcal {L}} (p_ {6}) + p_ {3} p_ {6} + p_ {2} p_ {8},}$

${ displaystyle a_ {10} = { mathcal {L}} (p_ {7}) + p_ {3} p_ {7} + p_ {1} p_ {9},}$

${ displaystyle a_ {01} = { mathcal {L}} (p_ {8}) + p_ {3} p_ {8} + p_ {2} p_ {9},}$

${ displaystyle a_ {00} = { mathcal {L}} (p_ {9}) + p_ {3} p_ {9},}$

с ${ displaystyle { mathcal {L}} = p_ {1} partial _ {x} + p_ {2} partial _ {y},}$ и опять ${ displaystyle a_ {30} neq 0,}$ т.е. ${ displaystyle p_ {1} = 1,}$ и трехступенчатая процедура дает:

На первом этапе, корни кубический многочлен

${ displaystyle { mathcal {P}} _ {3} (- p_ {2}): = a_ {30} (- p_ {2}) ^ {3} + a_ {21} (- p_ {2}) ^ {2} + a_ {12} (- p_ {2}) + a_ {03} = 0.}$

нужно найти. Опять таки ${ displaystyle omega}$ обозначает корень, а первые четыре коэффициента равны

${ displaystyle p_ {1} = 1,}$

${ displaystyle p_ {2} = - omega,}$

${ displaystyle p_ {4} = a_ {30},}$

${ displaystyle p_ {5} = a_ {30} omega + a_ {21},}$

${ displaystyle p_ {6} = a_ {30} omega ^ {2} + a_ {21} omega + a_ {12}.}$

На втором этапе, линейная система три алгебраических уравнения необходимо решить:

${ displaystyle a_ {20} - { mathcal {L}} a_ {30} = p_ {3} a_ {30} + p_ {7},}$

${ displaystyle a_ {11} - { mathcal {L}} (a_ {30} omega + a_ {21}) = p_ {3} (a_ {30} omega + a_ {21}) - omega p_ {7} + p_ {8},}$

${ displaystyle a_ {02} - { mathcal {L}} (a_ {30} omega ^ {2} + a_ {21} omega + a_ {12}) = p_ {3} (a_ {30} омега ^ {2} + a_ {21} omega + a_ {12}) - omega p_ {8}.}$

На третьем этапе, два алгебраических условия нужно проверить.

Оператор заказа ${ displaystyle n}$

Инвариантная формулировка

Определение Операторы ${ displaystyle { mathcal {A}}}$, ${ displaystyle { tilde { mathcal {A}}}}$ называются эквивалентными, если существует калибровочное преобразование, которое переводит одно в другое:

${ displaystyle { tilde { mathcal {A}}} g = e ^ {- varphi} { mathcal {A}} (e ^ { varphi} g).}$

BK-факторизация - это чистая алгебраическая процедура, которая позволяет явно построить факторизацию LPDO произвольного порядка. ${ displaystyle { tilde { mathcal {A}}}}$в виде

${ displaystyle { mathcal {A}} = sum _ {j + k leq n} a_ {jk} partial _ {x} ^ {j} partial _ {y} ^ {k} = { mathcal {L}} circ sum _ {j + k leq (n-1)} p_ {jk} partial _ {x} ^ {j} partial _ {y} ^ {k}}$

с оператором первого порядка ${ displaystyle { mathcal {L}} = partial _ {x} - omega partial _ {y} + p}$ куда ${ displaystyle omega}$ является произвольный простой корень характеристического полинома

${ displaystyle { mathcal {P}} (t) = sum _ {k = 0} ^ {n} a_ {nk, k} t ^ {nk}, quad { mathcal {P}} ( omega ) = 0.}$

Тогда факторизация возможна для каждого простого корня ${ displaystyle { tilde { omega}}}$ если только

за ${ Displaystyle п = 2 rightarrow l_ {2} = 0,}$

за ${ Displaystyle п = 3 rightarrow l_ {3} = 0, l_ {31} = 0,}$

за ${ Displaystyle п = 4 rightarrow l_ {4} = 0, l_ {41} = 0, l_ {42} = 0,}$

и так далее. Все функции ${ displaystyle l_ {2}, l_ {3}, l_ {31}, l_ {4}, l_ {41}, l_ {42}, ...}$ известные функции, например,

${ displaystyle l_ {2} = a_ {00} - { mathcal {L}} (p_ {6}) + p_ {3} p_ {6},}$

${ displaystyle l_ {3} = a_ {00} - { mathcal {L}} (p_ {9}) + p_ {3} p_ {9},}$

${ displaystyle l_ {31} = a_ {01} - { mathcal {L}} (p_ {8}) + p_ {3} p_ {8} + p_ {2} p_ {9},}$

и так далее.

Теорема Все функции

${ displaystyle l_ {2} = a_ {00} - { mathcal {L}} (p_ {6}) + p_ {3} p_ {6}, l_ {3} = a_ {00} - { mathcal { L}} (p_ {9}) + p_ {3} p_ {9}, l_ {31}, ....}$

находятся инварианты при калибровочных преобразованиях.

Определение Инварианты ${ displaystyle l_ {2} = a_ {00} - { mathcal {L}} (p_ {6}) + p_ {3} p_ {6}, l_ {3} = a_ {00} - { mathcal { L}} (p_ {9}) + p_ {3} p_ {9}, l_ {31}, .....}$ называются обобщенные инварианты двумерного оператора произвольного порядка.

В частном случае двумерного гиперболического оператора его обобщенные инварианты совпадают с инвариантами Лапласа (видеть Инвариант Лапласа ).

Следствие Если оператор ${ displaystyle { tilde { mathcal {A}}}}$ факторизуем, то все эквивалентные ему операторы также факторизуемы.

Эквивалентные операторы легко вычислить:

${ displaystyle e ^ {- varphi} partial _ {x} e ^ { varphi} = partial _ {x} + varphi _ {x}, quad e ^ {- varphi} partial _ { y} e ^ { varphi} = partial _ {y} + varphi _ {y},}$

${ displaystyle e ^ {- varphi} partial _ {x} partial _ {y} e ^ { varphi} = e ^ {- varphi} partial _ {x} e ^ { varphi} e ^ {- varphi} partial _ {y} e ^ { varphi} = ( partial _ {x} + varphi _ {x}) circ ( partial _ {y} + varphi _ {y}) }$

и так далее. Некоторые примеры приведены ниже:

${ Displaystyle A_ {1} = partial _ {x} partial _ {y} + x partial _ {x} + 1 = partial _ {x} ( partial _ {y} + x), quad l_ {2} (A_ {1}) = 1-1-0 = 0;}$

${ Displaystyle A_ {2} = partial _ {x} partial _ {y} + x partial _ {x} + partial _ {y} + x + 1, quad A_ {2} = e ^ { -x} A_ {1} e ^ {x}; quad l_ {2} (A_ {2}) = (x + 1) -1-x = 0;}$

${ Displaystyle A_ {3} = partial _ {x} partial _ {y} + 2x partial _ {x} + (y + 1) partial _ {y} +2 (ху + х + 1), quad A_ {3} = e ^ {- xy} A_ {2} e ^ {xy}; quad l_ {2} (A_ {3}) = 2 (x + 1 + xy) -2-2x (y +1) = 0;}$

${ Displaystyle A_ {4} = partial _ {x} partial _ {y} + x partial _ {x} + ( cos x + 1) partial _ {y} + x cos x + x + 1, quad A_ {4} = e ^ {- sin x} A_ {2} e ^ { sin x}; quad l_ {2} (A_ {4}) = 0.}$

Транспонировать

Факторизация оператора - это первый шаг на пути решения соответствующего уравнения. Но для решения нам нужно верно факторы и конструкции BK-факторизации оставили факторы, которые легко построить. С другой стороны, существование определенного правого множителя LPDO эквивалентно существованию соответствующего левого множителя LPDO. транспонировать этого оператора.

ОпределениеТранспонирование ${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {t}}$ оператора${ displaystyle { mathcal {A}} = sum a _ { alpha} partial ^ { alpha}, qquad partial ^ { alpha} = partial _ {1} ^ { alpha _ {1} } cdots partial _ {n} ^ { alpha _ {n}}.}$определяется как${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {t} u = sum (-1) ^ {| alpha |} partial ^ { alpha} (a _ { alpha} u).}$и личность${ Displaystyle partial ^ { gamma} (uv) = sum { binom { gamma} { alpha}} partial ^ { alpha} u, partial ^ { gamma - alpha} v}$подразумевает, что${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {t} = sum (-1) ^ {| alpha + beta |} { binom { alpha + beta} { alpha}} ( partial ^ { beta} a _ { alpha + beta}) partial ^ { alpha}.}$

Теперь коэффициенты равны

${ displaystyle { mathcal {A}} ^ {t} = sum { tilde {a}} _ { alpha} partial ^ { alpha},}$${ displaystyle { tilde {a}} _ { alpha} = sum (-1) ^ {| alpha + beta |} { binom { alpha + beta} { alpha}} partial ^ { beta} (a _ { alpha + beta}).}$

со стандартным соглашением для биномиальных коэффициентов от нескольких переменных (см. Биномиальный коэффициент ), например в двух переменных

${ Displaystyle { binom { alpha} { beta}} = { binom {( alpha _ {1}, alpha _ {2})} {( beta _ {1}, beta _ {2 })}} = { binom { alpha _ {1}} { beta _ {1}}} , { binom { alpha _ {2}} { beta _ {2}}}.}$

В частности, для оператора ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {2}}$ коэффициенты${ displaystyle { tilde {a}} _ {jk} = a_ {jk}, quad j + k = 2; { tilde {a}} _ {10} = - a_ {10} +2 partial _ {x} a_ {20} + partial _ {y} a_ {11}, { tilde {a}} _ {01} = - a_ {01} + partial _ {x} a_ {11} +2 частичный _ {y} a_ {02},}$

${ displaystyle { tilde {a}} _ {00} = a_ {00} - partial _ {x} a_ {10} - partial _ {y} a_ {01} + partial _ {x} ^ { 2} a_ {20} + partial _ {x} partial _ {x} a_ {11} + partial _ {y} ^ {2} a_ {02}.}$

Например, оператор

${ displaystyle partial _ {xx} - partial _ {yy} + y partial _ {x} + x partial _ {y} + { frac {1} {4}} (y ​​^ {2} - х ^ {2}) - 1}$

факторизуем как

${ displaystyle { big [} partial _ {x} + partial _ {y} + { tfrac {1} {2}} (yx) { big]} , { big [} ... {большой ]}}$

и его транспонировать ${ displaystyle { mathcal {A}} _ {1} ^ {t}}$ факторизуем, тогда как${ displaystyle { big [} ... { big]} , { big [} partial _ {x} - partial _ {y} + { tfrac {1} {2}} (y ​​+ x) { big]}.}$

Смотрите также

• Частная производная
• Инвариант (математика)
• Теория инвариантов
• Характеристический полином

Примечания

Рекомендации

• Дж. Вайс. Преобразование Бэклунда и свойство Пенлеви. [1] J. Math. Phys. 27, 1293-1305 (1986).
• Р. Билс, Э. Карташова. Конструктивное разложение линейных дифференциальных операторов в частных производных от двух переменных. Теор. Математика. Phys. 145(2), стр. 1510-1523 (2005).
• Э. Карташова. Иерархия обобщенных инвариантов для линейных дифференциальных операторов с частными производными. Теор. Математика. Phys. 147(3), стр. 839-846 (2006).
• Е. Карташова, О. Руденко. Инвариантная форма BK-факторизации и ее приложения. Proc. GIFT-2006, стр.225-241, ред .: Дж. Калмет, Р. У. Такер, Karlsruhe University Press (2006); arXiv