Итерированный предел - Iterated limit

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (август 2013) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В многомерное исчисление, повторный предел является выражением формы

${ displaystyle lim _ {y to q} { big (} lim _ {x to p} f (x, y) { big)}. ,}$

У одного есть выражение, значение которого зависит как минимум от двух переменных, один принимает предел, когда одна из двух переменных приближается к некоторому числу, получает выражение, значение которого зависит только от другой переменной, а затем принимает предел, когда другая переменная приближается какое-то количество. Это не определяется так же, как предел

${ Displaystyle lim _ {(х, у) к (р, д)} е (х, у), ,}$

что не является повторным пределом. Сказать, что это последнее предел функции более чем одной переменной равно определенному числу L Значит это ƒ(Икс, у) можно сделать максимально близким к L по желанию, сделав точку (Икс, у) достаточно близко к точке (п, q). Это не означает, что сначала берется один предел, а потом другой.

Контрпримеры

Не во всех случаях верно, что

${ displaystyle lim _ {(x, y) to (p, q)} f (x, y) = lim _ {x to p} lim _ {y to q} f (x, y ) = lim _ {y to q} lim _ {x to p} f (x, y).}$

(1)

Среди стандартных контрпримеров есть те, в которых

${ displaystyle f (x, y) = { frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

и

${ displaystyle f (x, y) = { frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}},}$^[1]

и (п, q) = (0, 0).

В первом примере значения двух повторных пределов отличаются друг от друга:

${ displaystyle lim _ {y to 0} left ( lim _ {x to 0} { frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} right ) = lim _ {y to 0} 0 = 0,}$

и

${ displaystyle lim _ {x to 0} left ( lim _ {y to 0} { frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} right ) = lim _ {x to 0} 1 = 1.}$^[2]

Во втором примере два повторных предела равны друг другу, несмотря на то, что предел как (Икс, у) → (0, 0) не существует:

${ displaystyle lim _ {x to 0} left ( lim _ {y to 0} { frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}} right) = lim _ {x to 0} 0 = 0}$

и

${ displaystyle lim _ {y to 0} left ( lim _ {x to 0} { frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}} right) = lim _ {y to 0} 0 = 0,}$

но предел как (Икс, у) → (0, 0) по прямой у = Икс отличается:

${ Displaystyle lim _ { Big (} (x, y) to (0,0) ,: , y = x { Big)}} { frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}} = lim _ {x to 0} { frac {x ^ {2}} {x ^ {2} + x ^ {2}}} = { frac {1} { 2}}.}$

Следует, что

${ displaystyle lim _ {(x, y) to (0,0)} { frac {xy} {x ^ {2} + y ^ {2}}}}$

не существует.

Достаточное состояние

Достаточное условие для (1) держать Теорема Мура-Осгуда: Если ${ Displaystyle lim _ {х к р} е (х, у)}$ существует поточечно для каждого у отличается от q и если ${ Displaystyle lim _ {у к q} е (х, у)}$ сходится равномерно за Икс≠п тогда двойной предел и повторяющиеся пределы существуют и равны.^[3]

Смотрите также

• Обмен ограничивающими операциями

Рекомендации