Уравнение Джонса - Википедия - Johns equation

Уравнение Джона является ультрагиперболическое уравнение в частных производных удовлетворен Рентгеновское преобразование функции. Он назван в честь Фриц Джон.

Учитывая функцию с компактной опорой Рентгеновское преобразование - интеграл по всем прямым в . Мы параметризуем линии парами точек , на каждой строке и определите как преобразование лучей, где

Такие функции характеризуются уравнениями Джона

что доказано Фриц Джон для измерения три и по Куруса для более высоких измерений.

В трехмерном рентгеновском снимке компьютерная томография Уравнение Джона может быть решено для заполнения недостающих данных, например, когда данные получены из точечного источника, пересекающего кривую, обычно спираль.

В более общем плане сверхгиперболический уравнение в частных производных (термин, введенный Ричард Курант ) является дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка вида

куда , так что квадратичная форма

можно привести линейной заменой переменных к виду

Невозможно произвольно указать значение решения на нехарактерной гиперповерхности. Однако в статье Джона приводятся примеры многообразий, на которых произвольная спецификация ты может быть расширен до решения.

Рекомендации

  • Джон, Фриц (1938), «Ультрагиперболическое дифференциальное уравнение с четырьмя независимыми переменными», Математический журнал герцога, 4 (2): 300–322, Дои:10.1215 / S0012-7094-38-00423-5, ISSN  0012-7094, МИСТЕР  1546052, Zbl  0019.02404
  • Á. Куруса, характеристика диапазона преобразования Радона системой PDE, J. Math. Анальный. Appl., 161 (1991), 218--226. Дои:10.1016 / 0022-247X (91) 90371-6
  • С. К. Патч, Условия согласованности данных 3D КТ и волнового уравнения, Phys. Med. Биол. 47 № 15 (7 августа 2002 г.) 2637-2650 Дои:10.1088/0031-9155/47/15/306