Уравнение Джонса - Википедия - Johns equation

Уравнение Джона является ультрагиперболическое уравнение в частных производных удовлетворен Рентгеновское преобразование функции. Он назван в честь Фриц Джон.

Учитывая функцию ${ Displaystyle е двоеточие mathbb {R} ^ {n} rightarrow mathbb {R}}$ с компактной опорой Рентгеновское преобразование - интеграл по всем прямым в ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ . Мы параметризуем линии парами точек ${ displaystyle x, y in mathbb {R} ^ {n}}$ , ${ Displaystyle х neq y}$ на каждой строке и определите ${ displaystyle u}$ как преобразование лучей, где

{ displaystyle u (x, y) = int limits _ {- infty} ^ { infty} f (x + t (y-x)) dt.}

Такие функции ${ displaystyle u}$ характеризуются уравнениями Джона

{ displaystyle { frac { partial ^ {2} u} { partial x_ {i} partial y_ {j}}} - { frac { partial ^ {2} u} { partial y_ {i} partial x_ {j}}} = 0}

что доказано Фриц Джон для измерения три и по Куруса для более высоких измерений.

В трехмерном рентгеновском снимке компьютерная томография Уравнение Джона может быть решено для заполнения недостающих данных, например, когда данные получены из точечного источника, пересекающего кривую, обычно спираль.

В более общем плане сверхгиперболический уравнение в частных производных (термин, введенный Ричард Курант ) является дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка вида

{ displaystyle sum limits _ {i, j = 1} ^ {2n} a_ {ij} { frac { partial ^ {2} u} { partial x_ {i} partial x_ {j}}} + sum limits _ {i = 1} ^ {2n} b_ {i} { frac { partial u} { partial x_ {i}}} + cu = 0}

куда ${ Displaystyle п geq 2}$ , так что квадратичная форма

{ displaystyle sum limits _ {i, j = 1} ^ {2n} a_ {ij} xi _ {i} xi _ {j}}

можно привести линейной заменой переменных к виду

{ displaystyle sum limits _ {i = 1} ^ {n} xi _ {i} ^ {2} - sum limits _ {i = n + 1} ^ {2n} xi _ {i} ^ {2}.}

Невозможно произвольно указать значение решения на нехарактерной гиперповерхности. Однако в статье Джона приводятся примеры многообразий, на которых произвольная спецификация ты может быть расширен до решения.

Уравнение Джонса - Википедия - Johns equation

Рекомендации