Окно Кайзера - Kaiser window

Окно Кайзера для нескольких значений его параметра

В Окно Кайзера, также известный как Окно Кайзера – Бесселя, был разработан Джеймс Кайзер в Bell Laboratories. Это однопараметрическое семейство оконные функции используется в конечная импульсная характеристика конструкция фильтра и спектральный анализ. Окно Кайзера приблизительно соответствует Окно DPSS который максимизирует концентрацию энергии в главном лепестке^[1] но это трудно вычислить.^[2]

Определение

Окно Кайзера и его преобразование Фурье задаются следующим образом:

${ Displaystyle w_ {0} (х) треугольник left {{ begin {array} {ccl} { frac {I_ {0} left [ pi alpha { sqrt {1- left (2x / L right) ^ {2}}} right]} {I_ {0} [ pi alpha]}}, quad & left | x right | leq L / 2 0, quad & left | x right |> L / 2 end {array}} right } quad { stackrel { mathcal {F}} { Longleftrightarrow}} quad { frac {L cdot sinh left ( pi alpha { sqrt {1- left (Lf right / alpha) ^ {2}}} right)} {I_ {0} ( pi alpha) cdot pi alpha { sqrt {1- left (Lf right / alpha) ^ {2}}}}}.}.$   ^[3]

Преобразования Фурье двух окон Кайзера

куда:

• я₀ это нулевой порядок модифицированная функция Бесселя первого рода,
• L - продолжительность окна, а
• α - неотрицательное действительное число, определяющее форму окна. В частотной области он определяет компромисс между шириной главного лепестка и уровнем бокового лепестка, что является центральным решением при проектировании окон.
• Иногда окно Кайзера параметризуется β, куда β = πα.

За цифровая обработка сигналов, функция может быть дискретизирована симметрично как:

${ displaystyle w [n] = w_ {0} left ({ tfrac {L} {N}} (nN / 2) right) = { frac {I_ {0} left [ pi alpha { sqrt {1- left ({ frac {2n} {N}} - 1 right) ^ {2}}} right]} {I_ {0} [ pi alpha]}}, quad 0 leq n leq N,}$

где длина окна ${ displaystyle N + 1,}$ и N может быть четным или нечетным. (видеть Window_function # A_list_of_window_functions )

В преобразовании Фурье первый нуль после главного лепестка встречается в ${ displaystyle f = { tfrac { sqrt {1+ alpha ^ {2}}} {L}},}$ что просто ${ displaystyle { sqrt {1+ alpha ^ {2}}}}$ в единицах N («бины» ДПФ). В качестве α увеличивается, ширина главного лепестка увеличивается, а амплитуда боковых лепестков уменьшается. α = 0 соответствует прямоугольному окну. Для больших α, форма окна Кайзера (как во временной, так и в частотной области) стремится к Гауссовский изгиб. Окно Кайзера почти оптимально в смысле концентрации его пиков около частоты. 0.^[4]

Окно Кайзера – Бесселя (KBD)

Связанная оконная функция - это Кайзера – Бесселя (KBD) окно, которое предназначено для использования с модифицированное дискретное косинусное преобразование (MDCT). Функция окна KBD определяется в терминах окна Кайзера длины N+1, по формуле:

${ displaystyle d_ {n} = { begin {case} { sqrt { frac { sum _ {i = 0} ^ {n} w [i]} { sum _ {i = 0} ^ {N } w [i]}}} & { mbox {if}} 0 leq n$

Это определяет окно длиной 2N, где по построению d_п удовлетворяет условию Принсена-Брэдли для MDCT (используя тот факт, что ш_N−п = ш_п): d_п² + (d_п+N)² = 1 (перевод п и п + N по модулю 2N). Окно KBD также симметрично, как следует для MDCT: d_п = d_2N−1−п.

Приложения

Окно KBD используется в Расширенное кодирование звука цифровой аудиоформат.

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Кайзер, Джеймс Ф .; Шафер, Рональд В. (1980). "Об использовании я₀-sinh окно для анализа спектра ». Транзакции IEEE по акустике, речи и обработке сигналов. 28: 105–107. Дои:10.1109 / ТАССП.1980.1163349.
• Смит, Дж. (2011). «Спектральная обработка аудиосигнала, сравнение окон Kaiser и DPSS». ccrma.stanford.edu. Получено 2016-04-13.
• Смит, Дж. (2011). «Спектральная обработка аудиосигнала, окно Кайзера». ccrma.stanford.edu. Получено 2019-03-20. Иногда окно Кайзера параметризуется с помощью α, где β = πα.
• "Окно Кайзера, R2018b". www.mathworks.com. Математические работы. Получено 2019-03-20.