Разложение Калмана - Kalman decomposition

В теория управления, а Разложение Калмана предоставляет математические средства для преобразования представления любого линейный инвариантный во времени (LTI) система контроля в форму, в которой система может быть разложена на стандартную форму, которая проясняет наблюдаемый и управляемый компоненты системы. Эта декомпозиция приводит к тому, что система представляется с более понятной структурой, что упрощает выводы о ее характеристиках. достижимый и наблюдаемые подпространства.

Обозначение

Вывод идентичен как для систем LTI с дискретным, так и с непрерывным временем. Описание линейной системы с непрерывным временем:

{displaystyle {точка {x}} (t) = Ax (t) + Bu (t)}

{displaystyle, y (t) = Cx (t) + Du (t)}

куда

{displaystyle, x}

"вектор состояния",

{displaystyle, y}

это "выходной вектор",

{displaystyle, u}

"входной (или управляющий) вектор",

{displaystyle, A}

это «матрица состояний»,

{displaystyle, B}

"входная матрица",

{displaystyle, C}

это "выходная матрица",

{displaystyle, D}

представляет собой «матрицу сквозного (или прямого распространения)».

Точно так же линейную систему управления с дискретным временем можно описать как

{displaystyle, x (k + 1) = Ax (k) + Bu (k)}

{displaystyle, y (k) = Cx (k) + Du (k)}

с аналогичным значением для переменных. Таким образом, систему можно описать с помощью кортежа, состоящего из четырех матриц ${displaystyle, (A, B, C, D)}$ . Пусть порядок системы будет ${displaystyle, n}$ .

Тогда разложение Калмана определяется как преобразование набора ${displaystyle, (A, B, C, D)}$ к ${displaystyle, ({шляпа {A}}, {шляпа {B}}, {шляпа {C}}, {шляпа {D}})}$ следующее:

{displaystyle, {hat {A}} = TA {T} ^ {- 1}}

{displaystyle, {hat {B}} = TB}

{displaystyle, {hat {C}} = C {T} ^ {- 1}}

{displaystyle, {шляпа {D}} = D}

${displaystyle, T ^ {- 1}}$ является ${displaystyle, n imes n}$ обратимая матрица, определяемая как

{displaystyle, T ^ {- 1} = {egin {bmatrix} T_ {r {overline {o}}} & T_ {ro} & T_ {overline {ro}} & T _ {{overline {r}} o} end {bmatrix} }}

куда

${displaystyle, T_ {r {overline {o}}}}$ представляет собой матрицу, столбцы которой охватывают подпространство состояний, которые одновременно достижимы и ненаблюдаемы.
${displaystyle, T_ {ro}}$ выбирается так, чтобы столбцы ${displaystyle, {egin {bmatrix} T_ {r {overline {o}}} & T_ {ro} end {bmatrix}}}$ являются основой достижимого подпространства.
${displaystyle, T_ {overline {ro}}}$ выбирается так, чтобы столбцы ${displaystyle, {egin {bmatrix} T_ {r {overline {o}}} & T_ {overline {ro}} end {bmatrix}}}$ являются базисом ненаблюдаемого подпространства.
${displaystyle, T _ {{overline {r}} o}}$ выбирается так, чтобы ${displaystyle, {egin {bmatrix} T_ {r {overline {o}}} & T_ {ro} & T_ {overline {ro}} & T _ {{overline {r}} o} end {bmatrix}}}$ обратимо.

По построению матрица ${displaystyle, T ^ {- 1}}$ обратимо. Можно заметить, что некоторые из этих матриц могут иметь нулевую размерность. Например, если система является одновременно наблюдаемой и управляемой, то ${displaystyle, T ^ {- 1} = T_ {ro}}$ , делая остальные матрицы нулевыми.

Стандартная форма

Используя результаты управляемости и наблюдаемости, можно показать, что преобразованная система ${displaystyle, ({шляпа {A}}, {шляпа {B}}, {шляпа {C}}, {шляпа {D}})}$ имеет матрицы следующего вида:

{displaystyle, {hat {A}} = {egin {bmatrix} A_ {r {overline {o}}} & A_ {12} & A_ {13} & A_ {14} 0 & A_ {ro} & 0 & A_ {24} 0 & 0 & A_ {overline {ro}} & A_ {34} 0 & 0 & 0 & A _ {{overline {r}} o} end {bmatrix}}}

{displaystyle, {hat {B}} = {egin {bmatrix} B_ {r {overline {o}}} B_ {ro} 0 0end {bmatrix}}}

{displaystyle, {hat {C}} = {egin {bmatrix} 0 & C_ {ro} & 0 & C _ {{overline {r}} o} end {bmatrix}}}

{displaystyle, {hat {D}} = D}

Это приводит к выводу, что

Подсистема ${displaystyle, (A_ {ro}, B_ {ro}, C_ {ro}, D)}$ одновременно достижима и наблюдаема.
Подсистема ${displaystyle, left ({egin {bmatrix} A_ {r {overline {o}}} & A_ {12} 0 & A_ {ro} end {bmatrix}}, {egin {bmatrix} B_ {r {overline {o}}}) B_ {ro} end {bmatrix}}, {egin {bmatrix} 0 & C_ {ro} end {bmatrix}}, Dight)}$ доступен.
Подсистема ${displaystyle, left ({egin {bmatrix} A_ {ro} & A_ {24} 0 & A _ {{overline {r}} o} end {bmatrix}}, {egin {bmatrix} B_ {ro} 0end {bmatrix}}) , {egin {bmatrix} C_ {ro} & C _ {{overline {r}} o} end {bmatrix}}, Dight)}$ наблюдается.

Смотрите также

внешняя ссылка

Лекции по динамическим системам и управлению, лекция 25 - Мохаммед Дале, Мунтер Далех, Джордж Вергезе - MIT OpenCourseWare