Преобразование Кельвина - Kelvin transform

В Преобразование Кельвина это устройство, используемое в классических теория потенциала расширить понятие гармоническая функция, позволяя определить функцию, которая является «гармонической на бесконечности». Этот метод также используется при изучении субгармоника и супергармоника функции.

Чтобы определить преобразование Кельвина ж* функции ж, необходимо сначала рассмотреть понятие инверсии в сфере в рп следующим образом.

Можно использовать инверсию в любой сфере, но идеи наиболее ясны при рассмотрении сферы с центром в начале координат.

Учитывая фиксированную сферу S(0,р) с центром 0 и радиусом р, инверсия точки Икс в рп определяется как

Полезный эффект этой инверсии заключается в том, что начало координат 0 является изображением , и является изображением 0. При этой инверсии сферы превращаются в сферы, а внешняя часть сферы преобразуется во внутреннюю, и наоборот.

Тогда преобразование Кельвина функции определяется следующим образом:

Если D открытое подмножество рп которое не содержит 0, то для любой функции ж определено на D, преобразование Кельвина ж* из ж относительно сферы S(0,р) является

Одним из важных свойств преобразования Кельвина и основной причиной его создания является следующий результат:

Позволять D быть открытым подмножеством в рп не содержащее начала 0. Тогда функция ты гармоническая, субгармоническая или супергармоническая в D тогда и только тогда, когда преобразование Кельвина ты* относительно сферы S(0,р) является гармонической, субгармонической или супергармонической в D*.

Это следует из формулы

Смотрите также

Рекомендации

  • Уильям Томсон, лорд Кельвин (1845) "Extrait d'une lettre de M. William Thomson à M. Liouville", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 10: 364–7
  • Уильям Томпсон (1847) "Extraits deux lettres adressees à M. Liouville, par M. William Thomson", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 12: 556–64
  • Дж. Л. Дуб (2001). Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог. Springer-Verlag. п. 26. ISBN  3-540-41206-9.
  • Л. Л. Хелмс (1975). Введение в теорию потенциала. Р. Э. Кригер. ISBN  0-88275-224-3.
  • О. Д. Келлог (1953). Основы теории потенциала. Дувр. ISBN  0-486-60144-7.
  • Джон Вермер (1981) Возможная теория 2-е издание, стр. 84, Конспект лекций по математике #408 ISBN  3-540-10276-0