Преобразование Кельвина - Kelvin transform
В Преобразование Кельвина это устройство, используемое в классических теория потенциала расширить понятие гармоническая функция, позволяя определить функцию, которая является «гармонической на бесконечности». Этот метод также используется при изучении субгармоника и супергармоника функции.
Чтобы определить преобразование Кельвина ж* функции ж, необходимо сначала рассмотреть понятие инверсии в сфере в рп следующим образом.
Можно использовать инверсию в любой сфере, но идеи наиболее ясны при рассмотрении сферы с центром в начале координат.
Учитывая фиксированную сферу S(0,р) с центром 0 и радиусом р, инверсия точки Икс в рп определяется как
Полезный эффект этой инверсии заключается в том, что начало координат 0 является изображением , и является изображением 0. При этой инверсии сферы превращаются в сферы, а внешняя часть сферы преобразуется во внутреннюю, и наоборот.
Тогда преобразование Кельвина функции определяется следующим образом:
Если D открытое подмножество рп которое не содержит 0, то для любой функции ж определено на D, преобразование Кельвина ж* из ж относительно сферы S(0,р) является
Одним из важных свойств преобразования Кельвина и основной причиной его создания является следующий результат:
- Позволять D быть открытым подмножеством в рп не содержащее начала 0. Тогда функция ты гармоническая, субгармоническая или супергармоническая в D тогда и только тогда, когда преобразование Кельвина ты* относительно сферы S(0,р) является гармонической, субгармонической или супергармонической в D*.
Это следует из формулы
Смотрите также
Рекомендации
- Уильям Томсон, лорд Кельвин (1845) "Extrait d'une lettre de M. William Thomson à M. Liouville", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 10: 364–7
- Уильям Томпсон (1847) "Extraits deux lettres adressees à M. Liouville, par M. William Thomson", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 12: 556–64
- Дж. Л. Дуб (2001). Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог. Springer-Verlag. п. 26. ISBN 3-540-41206-9.
- Л. Л. Хелмс (1975). Введение в теорию потенциала. Р. Э. Кригер. ISBN 0-88275-224-3.
- О. Д. Келлог (1953). Основы теории потенциала. Дувр. ISBN 0-486-60144-7.
- Джон Вермер (1981) Возможная теория 2-е издание, стр. 84, Конспект лекций по математике #408 ISBN 3-540-10276-0