Теорема Клеймана - Википедия - Kleimans theorem

В алгебраической геометрии Теорема Клеймана, представлен Клейман (1974), обеспокоенность измерение и плавность теоретико-схемное пересечение после некоторого возмущения факторов на пересечении.

А именно:^[1] заданной связной алгебраической группе грамм игра актеров транзитивно на алгебраическом многообразии Икс над алгебраически замкнутым полем k и ${ displaystyle V_ {i} к X, i = 1,2}$ морфизмы разновидностей, грамм содержит непустое открытое подмножество такое, что для каждого грамм в комплекте,

либо ${ displaystyle gV_ {1} times _ {X} V_ {2}}$ пусто или имеет чистое измерение ${ displaystyle dim V_ {1} + dim V_ {2} - dim X}$ , куда ${ displaystyle gV_ {1}}$ является ${ displaystyle V_ {1} to X { overset {g} { to}} X}$ ,
(Клейман–Теорема Бертини ) Если ${ displaystyle V_ {i}}$ являются гладкими многообразиями и если характеристика основного поля k равно нулю, то ${ displaystyle gV_ {1} times _ {X} V_ {2}}$ гладко.

Положение 1 устанавливает версию Лемма Чоу о движении:^[2] после некоторого возмущения циклов на Икс, их пересечение имеет ожидаемую размерность.

Эскиз доказательства

Мы пишем ${ displaystyle f_ {i}}$ за ${ displaystyle V_ {i} to X}$ . Позволять ${ displaystyle h: G times V_ {1} to X}$ быть составом, который ${ displaystyle (1_ {G}, f_ {1}): G times V_ {1} to G times X}$ за которым следует групповое действие ${ displaystyle sigma: G times X to X}$ .

Позволять ${ displaystyle Gamma = (G times V_ {1}) times _ {X} V_ {2}}$ быть волокнистый продукт из ${ displaystyle h}$ и ${ displaystyle f_ {2}: V_ {2} to X}$ ; его множество замкнутых точек

{ Displaystyle Gamma = {(g, v, w) | g in G, v in V_ {1}, w in V_ {2}, g cdot f_ {1} (v) = f_ { 2} (ш) }}

.

Мы хотим вычислить размер ${ displaystyle Gamma}$ . Позволять ${ displaystyle p: Gamma to V_ {1} times V_ {2}}$ быть проекцией. Это сюръективно, поскольку ${ displaystyle G}$ действует транзитивно на Икс. Каждое волокно п является классом стабилизаторов на Икс и так

{ Displaystyle dim Gamma = dim V_ {1} + dim V_ {2} + dim G- dim X}

.

Рассмотрим проекция ${ displaystyle q: Gamma to G}$ ; волокно q над грамм является ${ displaystyle gV_ {1} times _ {X} V_ {2}}$ и имеет ожидаемый размер, если не пуст. Это завершает доказательство утверждения 1.

Для утверждения 2, поскольку грамм действует транзитивно на Икс и гладкое место Икс непусто (по нулевой характеристике), Икс сам по себе гладкий. С грамм гладко, каждый геометрический слой п гладкая и поэтому ${ displaystyle p_ {0}: Gamma _ {0}: = (G times V_ {1, { text {sm}}}) times _ {X} V_ {2, { text {sm}} } to V_ {1, { text {sm}}} times V_ {2, { text {sm}}}}$ это гладкий морфизм. Отсюда следует, что общий слой ${ displaystyle q_ {0}: Gamma _ {0} to G}$ гладко общая гладкость. ${ displaystyle square}$

Примечания

^ Фултон (1998, Приложение Б. 9.2.)
^ Фултон (1998, Пример 11.4.5.)

Теорема Клеймана - Википедия - Kleimans theorem

Эскиз доказательства

Примечания

Рекомендации