Трехмерная кубика Кораса – Рассела - Koras–Russell cubic threefold

В алгебраическая геометрия, то Трехмерные кубы Кораса – Рассела гладкие аффинные сложные тройной диффеоморфен ${displaystyle mathbf {C} ^ {3}}$изучен Корас и Рассел (1997). Они обладают гиперболическим действием одномерного тор ${displaystyle mathbf {C} ^ {*}}$с единственной неподвижной точкой, так что частные трехмерного и касательное пространство неподвижной точки этим действием изоморфны. Они были обнаружены в процессе доказательства гипотезы линеаризации в размерности 3. Линейное действие ${displaystyle mathbf {C} ^ {*}}$ на аффинном пространстве ${displaystyle mathbf {A} ^ {n}}$ это одна из форм ${displaystyle t * (x_ {1}, ldots, x_ {n}) = (t ^ {a_ {1}} x_ {1}, t ^ {a_ {2}} x_ {2}, ldots, t ^ { a_ {n}} x_ {n})}$, куда ${displaystyle a_ {1}, ldots, a_ {n} в mathbf {Z}}$ и ${displaystyle tin mathbf {C} ^ {*}}$. Гипотеза о линеаризации в размерности ${displaystyle n}$ говорит, что каждое алгебраическое действие ${displaystyle mathbf {C} ^ {*}}$ на сложном аффинном пространстве ${displaystyle mathbf {A} ^ {n}}$ линейна в некоторых алгебраических координатах на ${displaystyle mathbf {A} ^ {n}}$. М. Корас и П. Рассел сделали ключевой шаг к решению в измерении 3, предоставив список трехмерных многообразий (теперь называемых трехмерными многообразиями Кораса-Рассела) и доказав ^[1] что гипотеза линеаризации для n = 3 верна, если все эти трехмерные многообразия являются экзотическими аффинными 3-пространствами, то есть ни одно из них не изоморфно ${displaystyle mathbf {A} ^ {3}}$. Позже это было показано Калиманом и Макар-Лимановым с помощью ML-инвариант из аффинное разнообразие, который, собственно, и был изобретен именно для этой цели.

Ранее, чем упомянутая выше статья, Рассел заметил, что гиперповерхность ${displaystyle R = {x + x ^ {2} y + z ^ {2} + t ^ {3} = 0}}$ обладает свойствами, очень похожими на стягиваемость аффинного 3-пространства, и его интересовало различение их как алгебраические многообразия. Теперь это следует из вычисления, что ${displaystyle ML (R) = mathbf {C} [x]}$ и ${displaystyle ML (mathbf {A} ^ {3}) = mathbf {C}}$.

Рекомендации

• Корас, М .; Рассел, Питер (1997), «Сжимаемые трехмерности и C^*-действия на C³", Журнал алгебраической геометрии, 6 (4): 671–695, ISSN  1056-3911, МИСТЕР  1487230, Zbl  0882.14013