Состояние Крейнса - Википедия - Kreins condition

В математический анализ, Состояние Крейна обеспечивает необходимое и достаточное условие для экспоненциальных сумм

${ displaystyle left { sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} exp (i lambda _ {k} x), quad a_ {k} in mathbb {C}, , lambda _ {k} geq 0 right },}$

быть плотный в взвешенный L₂ Космос на реальной линии. Это было обнаружено Марк Крейн в 1940-е гг.^[1] Следствие, также называемое условием Крейна, дает достаточное условие неопределенности проблема момента.^[2][3]

Заявление

Позволять μ быть абсолютно непрерывный мера на реальной линии, dμ(Икс) = ж(Икс) dИкс. Экспоненциальные суммы

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} exp (i lambda _ {k} x), quad a_ {k} in mathbb {C}, , lambda _ {k} geq 0}$

плотно в L₂(μ) если и только если

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {- ln f (x)} {1 + x ^ {2}}} , dx = infty.}$

Неопределенность проблемы моментов

Позволять μ быть как указано выше; предполагаю, что все моменты

${ displaystyle m_ {n} = int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {n} d mu (x), quad n = 0,1,2, ldots}$

из μ конечны. Если

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {- ln f (x)} {1 + x ^ {2}}} , dx < infty}$

держит, то Проблема моментов гамбургера за μ неопределенный; то есть существует другая мера ν ≠ μ на р такой, что

${ displaystyle m_ {n} = int _ {- infty} ^ { infty} x ^ {n} , d nu (x), quad n = 0,1,2, ldots}$

Это можно вывести из части "только если" приведенной выше теоремы Крейна.^[4]

Пример

Позволять

${ displaystyle f (x) = { frac {1} { sqrt { pi}}} exp left {- ln ^ {2} x right };}$

мера dμ(Икс) = ж(Икс) dИкс называется Мера Стилтьеса – Вигерта. С

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {- ln f (x)} {1 + x ^ {2}}} dx = int _ {- infty} ^ { infty} { frac { ln ^ {2} x + ln { sqrt { pi}}} {1 + x ^ {2}}} , dx < infty,}$

проблема моментов Гамбургера для μ неопределенно.

Рекомендации